第570回　女子中の入試問題　速さ 3

速さの練習問題｜ 2021年12月25日18時00分

「第５７０回　女子中の入試問題　速さ　３」

２０２１年度に女子中の入試で出された「速さ」の問題から、前回は大問形式の「旅人算」について考えました。

今回のテーマも引き続き「旅人算」ですが、少し難しい定番の問題を見ていこうと思います。

【問題】ＡとＢが同時に会社を出発して１８ｋｍ離れたＯ会社へ向かいます。Ａは初めタクシーに乗り、途中で降りて徒歩で向かいました。Ｂは初め徒歩で向かいましたが、Ａを乗せていたタクシーが戻ってきたのでそれに乗ってＯ会社へ向かったところ、Ａより１６分遅れて到着しました。タクシーの走る速さは毎時４５ｋｍ、２人の歩く速さは毎時５ｋｍです。グラフはかかった時間と距離の関係を表したものです。

（１）２人が同時に到着するためには、Ａは出発して何ｋｍのところでタクシーを降りればよいですか。

（２）グラフのｘはいくつですか。

（大妻中学校　２０２１年　問題１０）

【考え方】

（１）２人が同時に到着する様子を線分図に表すと次のようになります。

上の線分図の赤色点線で囲まれた部分に着目すると、タクシーとＢについて時間が○～□で同じですから、進んだ距離の比は速さの比と同じです。

速さの比　タクシー：Ｂ＝４５km/時：５km/時＝９：１

↓

距離の比タクシー：Ｂ＝⑨：①

⑨＋①＝⑩＝ア×２

⑩÷２＝⑤…ア

また、２人の歩く速さは同じですから、同時につくためには同じ距離だけ歩く必要がありますので、イの距離は①です。

⑤＋①＝⑥＝１８ｋｍ

①＝１８÷６＝３（ｋｍ）

３×５＝１５（ｋｍ）

答え　１５ｋｍ

（２）２人の様子を線分図に表し、タクシーとＢ（図１）、タクシーとＡ（図２）に分けて考えます。

２つの図より、

５○＋１□＝１８ｋｍ

１○＋９□－４○＋１２ｋｍ＝１８ｋｍ

↓

１□＝１．７５ｋｍ

（１８－１．７５）÷４５×６０＝２１２／３（分）

答え　２１２／３

本問の（１）は「お父さん問題」とも呼ばれる定番の問題です。

（２）の問題用のグラフが与えられたことで一瞬混乱するかもしれませんが、問題文をよく読むといつもの「お父さん問題」だと気づけます。

「１８ｋｍ」という距離の条件があることから線分図に整理して解くとよいでしょう。（ダイヤグラムを用いてもＯＫです。）

（２）は（１）よりは難しい問題です。

「１６分」という時間の条件があることとグラフが与えられていることからダイヤグラムを用いて解くこともできますが、上記のように線分図に整理すると「同時マーク」を利用した「いつもの解き方」ができますので、考えやすくなると思います。

では、次の問題です。

【問題】池の周りにある散歩道を、恵子さんと花子さんが歩きました。恵子さんは分速７２ｍで時計回りにＡ地点から歩き出し、花子さんは恵子さんとは逆回りにＢ地点から歩き出します。２人はそれぞれＡ、Ｂ地点を同時に出発し、５分後にはじめて出会いました。出会ってから４分後、花子さんはＡ地点を通過しました。２回目に２人が出会ってから９分２４秒後、花子さんははじめてＢ地点にもどりました。この散歩道の１周は何ｍですか。なお、この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。

（洗足学園中学校　２０２１年　問題３－（４））

【考え方】

池タイプの旅人算です。

問題の条件を円形の線分図に整理して考えていきましょう。

出発してから花子がＡ地点を通過するまでの図は次の通りです。