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第560回　女子校の入試問題　数の性質 1

数の性質の練習問題｜ 2021年08月07日18時00分

「第５６０回　女子校の入試問題　数の性質　１」

今回から、２０２１年度の女子校の中学入試で出された「数の性質」の問題を見ていきます。

１回目の今回は「約数と倍数」をテーマとした問題を見ていこうと思います。

１問目は、約数や倍数の意味についての問題です。

【問題】□÷９＝△と１２６÷□＝○という２つの式があります。△と○がどちらも整数となるとき、□にあてはまる整数をすべて求めなさい。ただし、□には同じ数が入ります。

（田園調布学園中等部　２０２１年　問題１－（９））

【考え方】

「□÷９＝整数」を文に直すと、「□を９で割ると、商は整数になります」となりますから、□は９で割り切れる整数、つまり□は９の倍数という意味です。

また、「１２６÷□＝整数」は「１２６を□で割ると、商は整数になります」ということですから、□は１２６を割り切ることができる整数、つまり□は１２６の約数という意味です。

□は９の倍数＝９、１８、２７、３６、４５、５４、６３、７２、８１、９０、９９、１０８、１１７、１２６、…

□は１２６の約数＝１、２、３、６、７、９、１４、１８、２１、４２、６３、１２６

両方に含まれる整数は、９、１８、６３、１２６です。

答え　９、１８、６３、１２６

本問は、約数や倍数という大切な算数の言葉の意味が理解できているかを確認できる問題です。

上記は倍数から書き出しましたが、個数に限りのある約数から調べていく方が簡単です。

また、１２６＝９×１４と書き換えると、９×１、９×２、９×７、９×１４の４つを見つけやすくなります。

では、次の問題を見ていきましょう。

2問目は、倍数と約分の関係についての問題です。

【問題】分母と分子の和が208で、約分すると5/21になる分数を求めなさい。

（品川女子学院中等部　２０２１年　問題3－（1）　問題文一部変更）

【考え方】

「約分する」の意味は、分母と分子を同じ数で割ることですから、問題を次のように表すことができます。

「倍数」を利用して解くと、次のようになります。

Ａ÷□＝５は、Ａが□の倍数であることを表していますから、Ａ＝□×５のように書き換えることができます。

同様に、Ｂ÷□＝２１もＢ＝□×２１と書き換えられます。

ですから、

Ａ＋Ｂ＝２０８＝□×５＋□×２１＝□×（５＋２１）＝□×２６

より、

□＝２０８÷２６＝８

です。

したがって、

Ａ＝８×５＝４０

Ｂ＝８×２１＝１６８

より、求める分数が４０/１６８とわかります。

答え　４０/１６８

「倍数」を利用すると上記のような解き方になりますが、通常は「約分前の和が２０８、約分後の和が５＋２１＝２６なので２０８÷２６＝８→８で約分した」という解き方になると思います。

また、「比」を習い終えていれば、「２０８を５：２１に比例配分すればよいから、２０８×５/２６＝４０がＡ」という解き方もできます。

最後にもう１問、見ておきましょう。

【問題】次の（ア）、（イ）にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。

１～４００までの整数が１つずつ書かれたカードを重ねます。上から１枚目には１、２枚目には２、…、４００枚目には４００と書いてあります。はじめに、上から数えて３の倍数目のカードを取りのぞきます。このとき、残ったカードの上から（ア）枚目には２８６と書かれています。続けて、残ったカードについても、同じように上から数えて３の倍数目のカードを取りのぞきます。最後に残ったカードの上から４７枚目に書かれている整数は（イ）です。

（フェリス女学院中学校　２０２１年　問題１－（５））

【考え方】

３の倍数は、

（１、２、３）、（４、５、６）、（７、８、９）、（１０、…

のように３ごとに並んでいますから、「３枚１組」として考えることができます。

２８６は、

２８６÷３＝９５あまり１

より、９６組目の１番目の数です。

「３枚１組」のうち、３の倍数は取りのぞかれますから、各組のカードは２枚です。

２枚×９５組＋１枚＝１９１枚目 … ア

イも、アのときと同じように考えてみましょう。

残ったカードのから取りのぞかれるカードを（太字）見てみると、