「第５５０回　共学校の立体図形 ４」


今回も前回に引き続き、近年に共学校の中学入試で出された「立体図形」の中から立体の切断に関する問題を取り扱います。


今回は直方体や直方体が組み合わさった立体を切断する問題を見ていこうと思います。


１問目は直方体の切断です。




【問題】
右の図は直方体をななめに切断したときにできる立体です。この立体の体積を求めなさい。



（江戸川学園取手中学校　２０２０年　問題１－（４））








【考え方】
切断によって直方体が「2等分」されたと考え、下の図のように切断されてできた立体と同じ立体（厳密には高さが入れ替わった立体です）をつけたしてもとの直方体にもどします。




上の図より、底面積が36cm2で高さが17cmの直方体を「2等分」したものが問題の立体ですから、

6cm×６cm×（５cm＋１２cm）÷2＝３０６cm３

が答えです。

答え　３０６cm３




ところで、答えを求めた式を見てみると、

（５cm＋１２cm）÷2

の部分は切断してできた立体の「向かい合う高さの平均」を計算する式になっています。


このことを図で表すと次のようになります。




このように、直方体を切断してできた立体の体積の求め方には、反対向きに同じ立体をつけたす方法と、向かい合う高さの平均を利用する「高さ平均」とよばれる解き方があります。









では、２問目を見ていきましょう。


【問題】
下の図のような、すべての角が直角な立体があります。このとき、次の問いに答えなさい。



（１）立体の表面積を求めなさい。

（２）頂点Ａ、Ｂ、Ｌ、Ｋを通る平面で、この立体を切断しました。切断されてできた立体のうち、頂点Ｆを含む立体の体積を求めなさい。

（東邦大学付属東邦中学校　２０２０年　問題５）








【考え方】
（１）
底面が六角形ＡＢＣＤＥＦの角柱として計算します。


角柱の表面積＝底面積×２＋底面の周りの長さ×立体の高さ

ですから、

（８cm×８cm－４cm×５cm）×２＋８cm×４×６cm＝２８０cm２

です。

答え　２８０cm２


（２）
切断の３原則にそって問題図の立体を切断していってもよいのですが、直方体が組み合わさった立体の切断は苦手だなというときは、次のような「美しい立体」を利用する解き方を試してみてください。


はじめに問題図の立体に直方体をつけたして「美しい形」である直方体を作り、その直方体を切断します。




次につけたした直方体に、点Ｐを通るように上の図の切断面をかき加えます。




以上より、問題図の立体を切断してできる立体は、三角柱ＡＬＦ－ＭＫＥから三角柱ＢＱＣ－ＭＰＤを取り除いたものとわかります。



８cm×６cm÷２×８cm－４cm×３cm÷２×５cm＝１６２cm３

答え　１６２cm３





本問のように凹凸のある立体を切断するときは、切断する立体を「美しい形」にしておき、

①「美しい立体」を切断
　↓
②つけたした立体を切断

の順に進めていくと、切断面の作図がしやすくなります。







今回は、近年に共学校の中学入試で出された「立体図形」の中から、直方体や直方体が組み合わさった立体を切断する問題について考えました。


ご紹介した「高さ平均」や「凹凸のある立体の切断は美しい立体にして切断する」といった解法をぜひ身につけて、立体図形の切断問題で得点が伸ばせるようになりましょう。