第544回 共学校の平面図形 5
「第544回 共学校の平面図形 5」
中学入試の問題の中から、２０２０年、２０２１年に共学校で出された「平面図形」の問題について考えています。
今回も、前回に引き続き「辺の比と面積の比」をテーマに見ていきます。
前回は基本レベルの問題を取り扱いましたので、今回はその応用となる「相似完成」の問題を見ていくことにします。
【問題】
右の図のような、長方形ＡＢＣＤがあります。ＡＢ＝８ｃｍ、ＢＣ＝１２ｃｍで、辺ＡＢのまん中の点をＭとします。また辺ＢＣ上に点Ｎをとると、ＢＮ：ＮＣ＝２：１となります。さらに辺ＡＮと辺ＭＤの交わる点をＰ、ＡＮをＮの方に延長した直線と、辺ＤＣをＣの方に延長した直線の交わる点をＱとします。このとき、次の問いに答えなさい。
（１）三角形ＣＮＱはどのような三角形ですか。最も適切な形を答えなさい。
（２）ＭＰ：ＰＤを求めなさい。
（３）ＡＰ：ＰＮ：ＮＱを求めなさい。
（４）三角形ＰＮＤの面積を求めなさい。
(江戸川学園取手中学校 ２０２０年 問題６）
【考え方】
（1）
下の図のように、わかる長さを書き込んでいきます。
ＢＮ：ＮＣ＝２：１より、
ＮＣ＝12ｃｍ×1／3＝4ｃｍ
です。
また、三角形ＤＡＱと三角形ＣＮＱは相似ですから、
ＱＣ＝8ｃｍ×1／2＝4ｃｍ
です。
角ＱＣＮは直角なので、三角形ＣＮＱは直角二等辺三角形とわかります。
答え 直角二等辺三角形
（2）
下の図で、三角形ＡＭＰと三角形ＱＤＰは相似です。
ＡＭ＝4ｃｍ、
ＱＤ＝4ｃｍ＋8ｃｍ＝12ｃｍ
ですから、
ＭＰ：ＰＤ＝ＡＭ：ＱＤ＝4ｃｍ：12ｃｍ＝1：3
です。
答え 1：3
（3）
（1）より三角形ＤＡＱと三角形ＣＮＱは相似ですから、
ＡＮ：ＮＱ＝ＤＣ：ＣＱ＝8ｃｍ：4ｃｍ＝2：1
です。
ＡＱ＝⑫とすると、（2）より
ＡＰ：ＰＱ＝1：3＝③：⑨
ＡＮ：ＮＱ＝2：1＝⑧：④
ですから、
ＡＰ：ＰＮ：ＮＱ＝③：⑤：④＝3：5：4
とわかります。
答え 3：5：4
（4）
三角形ＤＡＱの面積は、ＤＰとＤＮによって3：5：4に分けられます。
12ｃｍ×12ｃｍ÷2×5／12＝30ｃｍ2
答え 30ｃｍ2
本問は、問題の条件によって「角出し」が与えられていました。
問題の難度が上がると、この「角出し」によって自分で相似を作ることになりますので、上記のような問題を練習しておくことが大切です。
次は、自分で相似を作る＝「相似完成」の問題を見ていくことにしましょう。
【問題】
右の図のような平行四辺形ＡＢＣＤがあります。辺ＡＢ上に点Ｅ、辺ＡＤ上に点Ｆをとり、点Ｃと点Ｅ、点Ｂと点Ｆをそれぞれ結びました。その2本の線の交点をＧとしたところ、ＥＧ：ＧＣ＝5：12、ＢＧ：ＧＦ＝8：9となりました。このとき、ＡＦ：ＦＤを最も簡単な整数の比で求めなさい。
(市川中学校 ２０２０年 問題1ー（4））
【考え方】
前問の図と、上下が逆さまになり、長方形が平行四辺形に変わったのが、この問題の図です。
そこで、ＢＦをＦの方に、ＣＤをＤの方に延長した図を作ります。
「相似完成」のポイントは、「同時に2組の相似ができる」ように補助線を引くことです。
この問題でも、ＢＦをＦの方に、ＣＤをＤの方に延長することで、三角形ＡＢＦと三角形ＤＨＦ、三角形ＥＢＧと三角形ＣＨＧの2組の相似ができています。
※三角形ＡＢＦと三角形ＤＨＦの代わりに、三角形ＢＣＨと三角形ＦＤＨの相似を見てもＯＫです。
三角形ＥＢＧと三角形ＣＨＧで、
ＥＧ：ＧＣ＝5：12
ですから、ＢＧ：ＧＨも5：12です。
したがって、
ＧＨ＝8’×12／5＝19.2′
ＦＨ＝19.2’－9’＝10.2′
です。
すると、三角形ＡＢＦと三角形ＤＨＦで、
ＦＢ：ＦＨ＝（8’＋9’）：10.2’＝5：3
となりますので、ＡＦ：ＦＤも5：3とわかります。
答え 5：3
※上記のほかに、次のような補助線から答えを求めることもできます。
今回は、「辺の比と面積の比」の問題の中から、前回の応用となる「相似完成」の問題を見てきました。
1問目は延長線が与えられた、中学入試の問題としてはどちらかと言えば”親切な問題”でしたが、実際には2問目のように自分で延長線を引いて「相似を完成させる」問題の方が多いと思います。
また、難問になりますと、「角出し」が2回必要になることもありますので、今回ご紹介した2つの問題を通して「相似完成」の基礎を確認し、もう1ランクレベルの高い問題に取り組む準備ができるといいですね。
中学入試の問題の中から、２０２０年、２０２１年に共学校で出された「平面図形」の問題について考えています。
今回も、前回に引き続き「辺の比と面積の比」をテーマに見ていきます。
前回は基本レベルの問題を取り扱いましたので、今回はその応用となる「相似完成」の問題を見ていくことにします。
【問題】
右の図のような、長方形ＡＢＣＤがあります。ＡＢ＝８ｃｍ、ＢＣ＝１２ｃｍで、辺ＡＢのまん中の点をＭとします。また辺ＢＣ上に点Ｎをとると、ＢＮ：ＮＣ＝２：１となります。さらに辺ＡＮと辺ＭＤの交わる点をＰ、ＡＮをＮの方に延長した直線と、辺ＤＣをＣの方に延長した直線の交わる点をＱとします。このとき、次の問いに答えなさい。（１）三角形ＣＮＱはどのような三角形ですか。最も適切な形を答えなさい。
（２）ＭＰ：ＰＤを求めなさい。
（３）ＡＰ：ＰＮ：ＮＱを求めなさい。
（４）三角形ＰＮＤの面積を求めなさい。
(江戸川学園取手中学校 ２０２０年 問題６）
【考え方】
（1）
下の図のように、わかる長さを書き込んでいきます。
ＢＮ：ＮＣ＝２：１より、
ＮＣ＝12ｃｍ×1／3＝4ｃｍ
です。
また、三角形ＤＡＱと三角形ＣＮＱは相似ですから、
ＱＣ＝8ｃｍ×1／2＝4ｃｍ
です。
角ＱＣＮは直角なので、三角形ＣＮＱは直角二等辺三角形とわかります。
答え 直角二等辺三角形
（2）
下の図で、三角形ＡＭＰと三角形ＱＤＰは相似です。
ＡＭ＝4ｃｍ、
ＱＤ＝4ｃｍ＋8ｃｍ＝12ｃｍ
ですから、
ＭＰ：ＰＤ＝ＡＭ：ＱＤ＝4ｃｍ：12ｃｍ＝1：3
です。
答え 1：3
（3）
（1）より三角形ＤＡＱと三角形ＣＮＱは相似ですから、
ＡＮ：ＮＱ＝ＤＣ：ＣＱ＝8ｃｍ：4ｃｍ＝2：1
です。
ＡＱ＝⑫とすると、（2）より
ＡＰ：ＰＱ＝1：3＝③：⑨
ＡＮ：ＮＱ＝2：1＝⑧：④
ですから、
ＡＰ：ＰＮ：ＮＱ＝③：⑤：④＝3：5：4
とわかります。
答え 3：5：4
（4）
三角形ＤＡＱの面積は、ＤＰとＤＮによって3：5：4に分けられます。
12ｃｍ×12ｃｍ÷2×5／12＝30ｃｍ2
答え 30ｃｍ2
本問は、問題の条件によって「角出し」が与えられていました。
問題の難度が上がると、この「角出し」によって自分で相似を作ることになりますので、上記のような問題を練習しておくことが大切です。
次は、自分で相似を作る＝「相似完成」の問題を見ていくことにしましょう。
【問題】
右の図のような平行四辺形ＡＢＣＤがあります。辺ＡＢ上に点Ｅ、辺ＡＤ上に点Ｆをとり、点Ｃと点Ｅ、点Ｂと点Ｆをそれぞれ結びました。その2本の線の交点をＧとしたところ、ＥＧ：ＧＣ＝5：12、ＢＧ：ＧＦ＝8：9となりました。このとき、ＡＦ：ＦＤを最も簡単な整数の比で求めなさい。(市川中学校 ２０２０年 問題1ー（4））
【考え方】
前問の図と、上下が逆さまになり、長方形が平行四辺形に変わったのが、この問題の図です。
そこで、ＢＦをＦの方に、ＣＤをＤの方に延長した図を作ります。
「相似完成」のポイントは、「同時に2組の相似ができる」ように補助線を引くことです。
この問題でも、ＢＦをＦの方に、ＣＤをＤの方に延長することで、三角形ＡＢＦと三角形ＤＨＦ、三角形ＥＢＧと三角形ＣＨＧの2組の相似ができています。
※三角形ＡＢＦと三角形ＤＨＦの代わりに、三角形ＢＣＨと三角形ＦＤＨの相似を見てもＯＫです。
三角形ＥＢＧと三角形ＣＨＧで、
ＥＧ：ＧＣ＝5：12
ですから、ＢＧ：ＧＨも5：12です。
したがって、
ＧＨ＝8’×12／5＝19.2′
ＦＨ＝19.2’－9’＝10.2′
です。
すると、三角形ＡＢＦと三角形ＤＨＦで、
ＦＢ：ＦＨ＝（8’＋9’）：10.2’＝5：3
となりますので、ＡＦ：ＦＤも5：3とわかります。
答え 5：3
※上記のほかに、次のような補助線から答えを求めることもできます。
今回は、「辺の比と面積の比」の問題の中から、前回の応用となる「相似完成」の問題を見てきました。
1問目は延長線が与えられた、中学入試の問題としてはどちらかと言えば”親切な問題”でしたが、実際には2問目のように自分で延長線を引いて「相似を完成させる」問題の方が多いと思います。
また、難問になりますと、「角出し」が2回必要になることもありますので、今回ご紹介した2つの問題を通して「相似完成」の基礎を確認し、もう1ランクレベルの高い問題に取り組む準備ができるといいですね。
