「第514回　女子中の平面図形 4」


近年の女子中で出された「平面図形」の問題の中から、今回も前回に引き続き「辺の比と面積比」の大問形式の問題を見ていきます。


前回は「高さの等しい三角形の面積」がテーマでしたが、今回は「相似」が中心となる問題です。






【問題】
右の図のように三角形ABCがあり、AD：DB＝5：4、 AE：EC＝1：1、AF：FC＝1：2となるようにD、E、Fをとります。また、DEとBFが交わった点をGとし、DHとACが平行となるようにBF上にHをとります。このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)　DG：EGをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(2)　BG：GF をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(3)　三角形BDGの面積は三角形ABCの面積の何倍ですか。

（白百合学園中学校　2019年　問題3）








【考え方】
(1)
問題条件と求める部分を図に記入します。



上の図より、三角形DHGと三角形EFGの相似を利用すればよいとわかります。


はじめに、辺AC上の比をそろえておきます。（「比合わせ」）



DHはACと平行ですから、三角形DBHと三角形ABFも相似です。



DG：EG ＝DH：EF＝8/9：1＝8：9　


(2)
(1)より、

BH：HF＝4：5
HG：GF＝8：9

とわかりますから、HFで「比合わせ」をします。




(3)
(2)でわかったことが利用できます。



三角形ABF＝三角形ABC×2/6

ですから、「隣辺比」を利用すると、

三角形DBG＝三角形ABC×2/6×(4/9×12/17)＝三角形ABC×16/153

と求められます。

答え　16/153　

本問は、「補助線DH」が与えられていましたので、「問題の条件からわかること」、「前問でわかったこと」を利用していくと、順々に正解を得ることができる問題でした。


次は「補助線を自分で引く」問題です。






【問題】
図の四角形ABCDは平行四辺形で、AB：AD＝3：4、DF：FC＝1：1です。同じ印の角は、同じ大きさです。

(1)　AG：GEの比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。



(2)　三角形AGFと四角形CFGEの面積の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。



（鷗友学園女子中学校　2020年　問題5）








【考え方】
(1)
問題の条件からわかることを書いていきます。



上の図のように、ADとBCが平行なので

角BEA＝角DAE

ですから、三角形ABEはAB＝EBの二等辺三角形です。


ここから、三角形ABGと三角形BEGの面積比がわかれば、「高さの等しい三角形」の関係を利用してAG：GEを求めることができますが、その面積比がわかりません。


そこで、「三角形ABGと四角形CFGE」、または「三角形GBEと四角形AGFD」に着目して、「相似完成」を利用して解くことにします。




今回は、下の図で「角出し」をしてみます。



上の図より、

AG：GE＝8：3

と求められます。


(別解)
平行四辺形の内部に平行線を引いて、AG：GEを求めることもできます。



上の図で、緑色の三角形（ピラミッド型相似）に着目すると、

HE＝③×3/4＝9/4〇

ですから、

AG：GE＝BA：HE＝⑥：9/4〇＝8：3

です。




(2)
(1)でわかったことと、(2)で求める図形を図にあらわしてみます。



上の図で、三角形AGF（赤色斜線）は平行四辺形ABCDの1/2である三角形ABFをBG：GFで区切った図形と考えることができますし、また、三角形AEFから三角形EFGを引いた図形とみることもできます。



また、四角形CFGE（水色斜線）は、三角形BCFから三角形BEGを引いた図形、あるいは三角形EFGと三角形ECFをあわせた図形ととらえることができます。



上側の図を利用するときはBG：GFを求めればよいでしょうし、下側の図の場合は(1)で求めた8：3を利用することができます。


ここでは、下側の図で解いていきます。



上の図で、平行四辺形ABCD、三角形ABE、三角形ECF、三角形ADFの面積比は、「隣辺比」を利用して求めることができます。

平行四辺形ABCDの面積：三角形ABEの面積：三角形ECFの面積：三角形ADFの面積
＝⑥×⑧：⑥×⑥×1/2：②×③×1/2：③×⑧×1/2＝16：6：1：4



上の図より、

三角形AEFの面積
＝16－(6＋1＋4)＝5
　↓　
三角形AGFの面積：四角形CFGEの面積
＝三角形AEFの面積5×8/11：(三角形AEFの面積5×3/11＋三角形ECFの面積1)
＝20：13　






今回の問題で利用した「等しい高さの三角形の面積比」の発展的な解法である「隣辺比」と補助線を引いて2組の相似な三角形をつくる「相似完成」が使えるようになると、塾の実力テストや入試問題で出される少し難しめの「辺の比と面積比」の問題でも正解を増やすことができます。


得点アップのため、「隣辺比」や「相似完成」を学んだら、ぜひ、これらを身につけていきましょう。