「第476回　中学入試で出題される「規則性」 2」


中学入試で出された「規則性」に関する問題をご紹介しています。


前回は、「2で割ったときの余り」が利用できる「数の規則性」の問題でしたが、今回はどのような工夫ができる問題でしょうか。


さっそく問題を見ていきましょう。




2019年度　サレジオ学院中学校　A試験（四谷大塚　80％偏差値　男子60）より　

問題4　
次のような［規則］に従って整数の列を作ります。

［規則］
(ア)　1番目の数は1、2番目の数は1です。
(イ)　3番目以降の数は、1つ前の数と2つ前の数を足した数です。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)　1番目の数から10番目の数まですべて答えなさい。

(2)　1番目の数から30番目の数までに3の倍数はいくつありますか。

(3)　上の［規則］で、(イ)はそのままで、(ア)を

(ア)　1番目の数はX、2番目の数はYです。

という規則に変えて、新しい整数の列を作ることを考えます。ただし、X、Yには、それぞれ4から9までの整数のいずれかが入り、XはYよりも小さい整数とします。このとき、新しい整数の列の1番目から100番目の数の中に、3の倍数が25個あるようなX、Yの組合せをすべて答えなさい。








【解答例】
(1)
この問題の［規則］は、「フィボナッチ数列」という数列の作り方を表しています。

1番目の数　1
2番目の数　1
3番目の数　1番目の数＋2番目の数＝1＋1＝2
4番目の数　2番目の数＋3番目の数＝1＋2＝3
5番目の数　3番目の数＋4番目の数＝2＋3＝5
6番目の数　4番目の数＋5番目の数＝3＋5＝8
7番目の数　5番目の数＋6番目の数＝5＋8＝13
8番目の数　6番目の数＋7番目の数＝8＋13＝21
9番目の数　7番目の数＋8番目の数＝13＋21＝34
10番目の数　8番目の数＋9番目の数＝21＋34＝55

答え　1、1、2、3、5、8、13、21、34、55　


(2)　
「30番目」まで書き出して調べてもよいのですが、「調べる量が多い」ということは、「何か規則性があるのかも…？」と予測してみましょう。


そこで(1)で書き出した数列を調べてみると、次のようになります。



上の結果より、「×××○」の4個1組が繰り返されていることがわかります。


30番目÷4個/組＝7組あまり2番目　→　1個×7組＋0個＝7個





一応答えは求められましたが、「本当に4個1組？」という不安が残りそうです。


このように不安を感じたときは、もう少し調べる量を増やし、「大丈夫そうだ！」という安心感を持って次の問題に進むことが、テストのときは大切です。


しかし、家庭学習など時間の制約が少ないときは、次の別解のように、繰り返す「理由を考える」とよいでしょう。




(別解)
3の倍数が問題となっていますから、(1)の数列について、「3で割った余り」を調べていきます。



前回の「学習のポイント　2で割った余りを利用した整数のたし算」と同じように、今回は「3で割った余りを利用した整数のたし算」を使います。



問題の規則に従って、「余りについても前の2数をたす」と、上のように「8個1組」を繰り返します。


「4個1組」でも(2)の正解を得ることはできますが、実は「8個1組」という規則だったことがわかります。


30番目÷8個/組＝3組あまり6番目
　↓
2個×3組＋1個＝7個





この「8個1組」を利用すると、次の(3)も正解が可能になります。


(3)　
4～9の6つの整数を3で割った余りで整理し直します。



この表を利用すると、例えば、（X、Y）＝（4、5）は、（X、Y）＝（1、2）に置き換えることができます。


従ってX、Yの組み合わせは、3で割った余りの9つの組（0、0）、（0、1）、（0、2）、（1、0）、（1、1）、（1、2）、（2、0）、（2、1）、（2、2）を調べても同じことになります。


ところが、
（0、1）のときは3番目の数が0＋1という計算になり、
（0、2）のときは3番目の数が0＋2という計算になり、
（1、0）のときは3番目の数が1＋0という計算になり、
　・
　・
　・
（2、2）のときは3番目の数が2＋2という計算になりますから、（0、0）以外の8つの組については、(2)の別解で見た「（余りの）2数の和」の8つの式を繰り返すことになります。


ですから、これらの8つの組の場合、できあがる数列は次のような「ループ（環状）」になることがわかります。



このループから、(0、0)以外の8つの組は、8個1組の中に「必ず3の倍数が2個含まれる」ことがわかり、問題は、100番目までに3の倍数が25個含まれる場合についてですから、

100番目÷8個/組＝12組あまり4番目
　↓
1番目から4番目までに3の倍数を1個だけ含むとき、3の倍数の個数が

2個×12組＋1個＝25個

となります。


ところが上のループを見ると、どこから数え初めても1番目から4番目までの4つの数の中に「0」が1個だけありますから、(0、0)以外の8つの組はこの問題の条件を満たしていることがわかります。


一方、（0、0）の組＝（6、9）の組は、すべて3の倍数が並びますので、問題の条件にあてはまりません。


ですから、(3)の答えは（6、9）以外の全ての組となります。

答え　（X、Y）＝（4、5）、（4、6）、（4、7）、（4、8）、（4、9）、（5、6）、（5、7）、（5、8）、（5、9）、（6、7）、（6、8）、（7、8）、（7、9）、（8、9）








本問は「フィボナッチ数列」という「数列（規則的に並ぶ数）」の問題でしたが、小問(2)、(3)を解く際には、「3で割った余り」を利用しています。


このように「余り」を利用する考え方のことを「剰余類」や「剰余系」といいますが、「剰余類」は中学入試で出される「数の性質」や「数の規則性」の難しい問題で使うことがあります。


ですから、難関中を目指している場合は特に、「1、4、7、10、13、16、…は、3ずつ増える数、3で割ると1余る数、3の倍数＋1、各位の数の和を3で割ると1余る数」などのように、複数の表現で数の説明ができるようになると理想的だと思います。