第707回　男子中の入試問題　速さ 2

速さの練習問題｜ 2025年01月25日18時00分

「第７０７回　男子中の入試問題　速さ２」

前回より、２０２４年度に男子中の入試で出された「速さ」について考えています。

今回は前回の「旅人算」に続き、「池タイプの旅人算」を見ていきます。

１問目は基本レベルの問題です。

【問題】Ａさん、Ｂさん、Ｃさんの３人は一定の速さで池のまわりの道を何周もジョギングします。３人とも同じ場所から同時に出発し、ＡさんとＢさんは同じ向きに、ＣさんはＡさんとＢさんとは反対の向きに進みます。出発してから１分１２秒後にＡさんとＣさんがはじめてすれちがい、その１８秒後にＢさんとＣさんがはじめてすれちがいました。Ａさんは出発してから２分１５秒後にはじめて出発した地点に戻りました。

（１）Ｂさんがはじめて出発した地点に戻るのは、出発してから何分何秒後ですか。

（２）ＡさんがＢさんにはじめて追いつくのは、出発してから何分後ですか。

（３）３人がはじめて同時に出発した地点に戻るのは、出発してから何分後ですか。

（芝中学校　２０２４年　問題６　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

１回目の出会いはそれぞれが１周し終わるまでにおこるので、直線状の線分図に表すことができます。

出発する地点をＰ、ＡさんとＣさんが初めて出会う地点をＱ、ＢさんとＣさんが初めて出会う地点をＲとします。

ＰＱ間に着目します。

ＡさんはＱからＰまで（Ａさんの○→□）に

２分１５秒－１分１２秒＝１３５秒－７２秒＝６３秒

かかり、ＣさんはＰからＱまで（Ｃさんの●→○）に１分１２秒＝７２秒かかります。

ＡさんとＣさんが同じ道のりを進む時間の比が

６３秒：７２秒＝７：８

ですから、速さの比は逆比の８：７です。

Ａさんの速さを毎秒８、Ｃさんの速さを毎秒７とします。

８×７２秒＝５７６　…　ＰＱ間（Ａさんの●→○）の道のり

７×１８秒＝１２６　…　ＱＲ間（Ｃさんの○→■）の道のり

５７６－１２６＝４５０　…　ＰＲ間の道のり

ＢさんはＰからＲまで（Ｂさんの●→■）を

１分１２秒＋１８秒＝９０秒

で進みますから、Ｂさんの秒速は

４５０÷９０秒＝５

です。

また、Ａさんは１３５秒で池の周りを１周するので、池のまわりの道のりは

８×１３５秒＝１０８０

です。

１０８０÷５＝２１６秒＝３分３６秒

答え　３分３６秒後

（２）

池タイプの旅人算では

（池のまわりの道のり）÷（速さの差）＝（追いつくまでの時間）

です。

１０８０÷（８－５）＝３６０秒＝６分

答え　６分後

（３）

池を１周するのに、Ａさんは１３５秒、Ｂさんは２１６秒、Ｃさんは

１０８０÷７＝１０８０/７秒

かかります。

１３５と２１６と１０８０/７の最小公倍数は１０８０です。

１０８０秒＝１８分

答え　１８分後

本問の（１）は旅人算、（２）と（３）は池タイプの旅人算の基本が確認できる問題です。

なお、「Ａ×１３５秒＝（Ａ＋Ｃ）×７２秒＝（Ｂ＋Ｃ）×９０秒＝池のまわりの道のり」から、池のまわりの道のりを１あるいは時間の最小公倍数に仮定する解き方もあります。

また、（３）では、速さの比が８：５：７であることから、Ａさんが８周、Ｂさんが５周、Ｃさんが７周したときと考えて「１３５秒×８＝１０８０秒＝１８分」のように求める、あるいは、Ｃさんの時間が初めて整数となるＣさんが７周したときを調べる、という考え方もあります。

では、２問目です。

【問題】下の図のような池の周りを、高輪君はＡ地点から時計回りに、白金君はＢ地点から反時計回りに、同時に出発して回り続けます。白金君の速さは毎分７２ｍで、出発してから８分後に２人は初めて出会い、その６分後に高輪君はＢ地点を通過しました。高輪君は２人が２回目に出会ってから３８４ｍ進んだところで、ちょうど池を１周し、Ａ地点を通過しました。次の問いに答えなさい。