「第７０６回　男子中の入試問題　速さ １」

前回まで、２０２４年度の男子中の入試で出された「比と割合」について考えてきました。

今回からは「速さ」がテーマの問題を取り扱います。

その１回目の今回は「速さと比」がテーマの問題を見ていきます。

１問目は基本レベルの問題です。

【問題】Ａ地点からＢ地点まで時速４.２㎞で歩く予定でしたが、時速４.８㎞で歩いたので予定より１５分早く着きました。Ａ地点からＢ地点までの道のりは何㎞ですか。

（攻玉社中学校　２０２４年　問題２－（１）　問題文一部変更）

【考え方】

速さの問題は、条件を線分図やダイヤグラムに整理し、速さの３公式（速さ×時間＝道のり など）が使えるか、「速さと比」の関係が使えるかの順に考えることが基本の解き方です。

整理をすると、「同じ道のりにかかる時間の比」がわかれば、時間の差の１５分からＡＢ間にかかる時間が求められとわかります。（比を未習の場合は差集め算の考え方を利用して解きますが、ここでは割愛します。）

⑧－⑦＝１５分　→　①＝１５分＝１/４時間

⑧＝１/４時間×８＝２時間　…　予定の時間

※ １５分×８/（８－７）＝１２０分としてもＯＫです。

４.２㎞/時×２時間＝８.４㎞

答え　８.４㎞

本問は、速さと比の基本が確認できる問題です。

なお、解答例の他に、「道のりが同じとき、速さの比と時間の比は逆比の関係になる」ことを利用する解き方や、「道のりを１または速さの最小公倍数に仮定する」、「道のりを□㎞とする」として解く方法もあります。

２問目は、比で解く３人の旅人算です。

【問題】まっすぐに伸びた道をＡ君、Ｂ君、Ｃ君の３人が、それぞれ一定の速さでＰ地点から同じ方向へ進みます。最初にＡ君が歩き始め、その１０分後にＢ君が走り始め、さらにその２０分後にＣ君が自転車で出発しました。Ａ君は歩き始めてから２４分後にＢ君に追いつかれ、さらにその１６分後にＣ君に追いつかれました。Ｂ君は、Ａ君が歩き始めてから何分後にＣ君に追いつかれましたか。

（東京都市大学付属中学校　２０２４年　問題１－（４）　問題文一部変更）

【考え方】

３人のダイヤグラムは読み取りが難しくなりやすいので、ここでは線分図で条件を整理します。

ここでは、「道のりが同じとき、時間の比と速さの比は逆比の関係」を利用してみます。

Ａ君が２４分で進む道のり（●→□）を、Ｂ君は

２４分後－１０分後＝１４分

で進みます。

時間の比　Ａ君：Ｂ君＝２４分：１４分＝１２：７

↓

速さの比　Ａ君：Ｂ君＝７：１２

Ａ君が４０分で進む道のり（●→▲）を、Ｃ君は

４０分後－３０分後＝１０分

で進みます。

時間の比　Ａ君：Ｃ君＝４０分：１０分＝４：１

↓

速さの比　Ａ君：Ｃ君＝１：４

３人の速さを整理します。

よって、Ｂ君とＣ君の速さの比は３：７です。

Ｂ君がＣ君に追いつかれる様子を、線分図に整理します。（１問目と同じように、ダイヤグラムに整理することもできます。）

「道のりが同じとき、速さの比と時間の比は逆比」ですから、Ｐ地点から追いつかれる地点までにかかる時間の比は７：３で、この差の４が出発時刻の差の２０分にあたります。

２０分×７/（７－３）＝３５分　…　Ｂ君

１０分後＋３５分＝４５分後

答え　４５分後

本問も、前問と同様に「速さと比」の基本が確認できる問題です。

なお、解答例では速さの比を求めて解きましたが、時間の比だけを利用して解くこともできます。

最後は、大問形式の問題です。

【問題】駅と図書館の間の一本道を、Ａさんは徒歩で、Ｂさんは自動車でそれぞれ一定の速さで移動します。Ａさんは駅を１０時に出発し、図書館に１２時に到着しました。Ｂさんは図書館を１０時２０分に出発し、駅に到着後すぐにＣさんを自動車に乗せて図書館に向かいました。ＢさんとＣさんは図書館に１１時に到着する予定でしたが、Ａさんに追いついた時、Ｃさんが忘れ物に気づいたため、すぐに折り返しました。そして駅に到着後すぐに図書館に向かいました。このとき、次の問いに答えなさい。ただし、Ａさん、Ｂさん、Ｃさんが止まっている時間は考えないものとします。

（１）ＢさんとＣさんが図書館に到着した時刻は何時何分ですか。

（２）Ａさんが駅を出発してからＣさんが忘れ物に気づくまでに、Ａさんがあるいた距離と、Ｂさんが自動車に乗って移動した距離と、Ｃさんが自動車に乗って移動した距離を合計すると１９.８㎞でした。駅から図書館までの距離は何㎞ですか。

（明治大学付属中野中学校　２０２４年　問題５）

【考え方】

（１）

１２時－１０時＝２時間　…　Ａさんが駅から図書館までにかかる時間

１１時－１０時２０分＝４０分　…　Ｂさんが図書館と駅の間を往復する予定の時間

４０分÷２＝２０分　…　Ｂさんが図書館から駅まで移動する時間

よって、ＡさんとＢさんが同じ道のりを移動する時間の比は

２時間：２０分＝６：１

です。

従って、駅からＣさんが忘れ物に気づく地点までにかかる時間の比も６：１です。

４０分×１/（６－１）＝８分　…　Ｂさんが駅を出発してからＡさんに追いつくまでの時間

わかったことを、線分図に整理します。

１０時２０分＋２０分＋８分＋８分＋２０分＝１１時１６分　…　ＢさんとＣさんが図書館に到着する時刻

答え　１１時１６分

（２）ＡさんとＢさんが同じ道のりを移動する時間の比が６：１ですから、速さの比は１：６です。

Ａさんの分速を１□㎞、Ｂさん、Ｃさんの分速を６□㎞とします。

１□㎞/分×４８分＝４８□㎞　…　Ａさんが４８分間に進む道のり

６□㎞/分×（４８－２０）分＝１６８□㎞　…　Ｂさんが２８分間に進む道のり

６□㎞/分×８分＝４８□㎞　…　Ｃさんが８分間に進む道のり

４８□㎞＋１６８□㎞＋４８□㎞＝１９.８㎞

１□㎞＝１９.８㎞÷（４８＋１６８＋４８）＝０.０７５㎞

０.０７５㎞×（１６８－４８）＝９㎞

答え　９㎞

本問は、「道のりが同じとき、時間の比と速さの比は逆比」の関係と「比を使った速さの３公式」について確認できる問題です。

なお、（２）は次のように整理して解くこともできます。

１９.８㎞×（７－２）/（２＋７＋２）＝９㎞

今回は、２０２４年度に男子中の入試で出された「速さと比」の問題をご紹介しました。

このような問題が苦手な場合は、はじめに比を用いない問題で「速さの３公式」の使い方を確認し、次に「道のりが同じとき」、「時間が同じとき」、「速さが同じとき」の３パターンで「比の関係」を復習します。

その後、今回のような問題で線分図やダイヤグラムなどの整理方法と使い方を練習するのように、少しずつレベルアップしながら復習をしてみましょう。