「第６９６回　男子中の入試問題　数の性質 １」

前回まで、近年に共学中で出された入試問題を見てきました。

今回からは、男子中の入試問題について考えていきます。

その１回目は、「数の性質」の中から「約数と倍数」の基本問題を取り扱います。

１問目は「約数」の問題です。

【問題】１００以上３００以下の整数のうち、約数の個数が９個である整数をすべて求めなさい。

（海城中学校　２０２４年　問題１－（４））

【考え方】

約数の個数は、素因数分解を利用すると計算で求められます。

例えば、１２は

１２＝２×２×３

で「２」を２個と「３」を１個かけあわせた数ですから、約数の個数は

（２個＋１）×（１個＋１）＝６個

のように、素数の個数に１をたした数の積で求められます。

ですから、約数が９個の整数は、素因数分解すると素数Ａが８個の積または素数Ａが２個と素数Ｂが２個の積で表されるような数です。

・素数Ａが８個の積の場合

２×２×２×２×２×２×２×２＝２５６　…　○

３×３×３×３×３×３×３×３＝６５６１　…　×

よって、２５６だけです。

・素数Ａが２個と素数Ｂが２個の積の場合

２×２×３×３＝３６　…　×

２×２×５×５＝１００　…　○

２×２×７×７＝１９６　…　○

２×２×１１×１１＝４８４　…　×

３×３×５×５＝２２５　…　○

３×３×７×７＝４４１　…　×

５×５×７×７＝１２２５　…　×

よって、１００、１９６、２２５の３個があります。

答え　１００、１９６、２２５、２５６

本問は、約数の個数の求め方が確認できる問題です。

求め方を忘れていたときは、きちんと覚え直しましょう。

２問目も、「約数」に関する問題です。

【問題】６０のすべての約数について考えます。分子が１で、分母が６０の約数である分数のすべての和はいくつですか。

（高輪中学校　２０２４年　問題２－（１））

【考え方】

例えば分母が１２の約数の場合、

のように、通分すると分子は１２の約数の和になります。

１２は

１２＝２×２×３

で「２×２」と「３」をかけあわせた数ですから、約数の和は

（１＋２＋２×２）×（１＋３）＝２８

のようにして求められます。

６０は

６０＝２×２×３×５

ですから、約数の和は

（１＋２＋２×２）×（１＋３）×（１＋５）＝１６８

です。

よって、分子が１で、分母が６０の約数である分数のすべての和は

１６８/６０＝１４/５

です。

答え　１４/５（２ ４/５、２.８）

本問は、約数の和の求め方が確認できる問題です。

前問の「約数の個数」よりは出題頻度の低い問題ですが、覚えておくと便利な解き方です。

３問目も、２問目と同じ学校で出された、「倍数」に関する問題です。

【問題】１から５０までのすべての整数の積は、一の位から連続して０が何個並びますか。

（高輪中学校　２０２４年　問題２－（２））

【考え方】

整数が

□×１０×１０×…×１０

のように表せるとき、一の位から連続して並ぶ「０」の個数は「×１０」の個数と同じです。

ですから、１から５０までのすべての整数の積を素因数分解したときにできる「×２×５」の個数を求めればよいことになります。

このとき、「×２」は２の倍数に必ず１個以上含まれ、「×５」は５の倍数に必ず１個以上含まれますが、５０以下の整数の中にある５の倍数の方が２の倍数より少ないので、「×５」の個数だけに着目します。

５０以下に５の倍数は

５０÷５＝１０個

あり、それらはすべて「□×５」で表せます。

よって、「×５」の個数も１０個とわかります。

さらに１０個の５の倍数のうち、２５と５０は２５の倍数なので「■×５×５」のように表せ、「×５」を２個含みますから、「×５」は５の倍数で求めた１０個に２個を加えた１２個あることになります。

答え　１２個

本問は「末尾の０」の考え方が確認できる問題です。

上記では順に考えましたが、考え方が定着していれば、次のような「逆割り（すだれ算）」を利用することもできます。

では、４問目です。

【問題】２８４個の分数

のうち、約分できない分数は何個あるか答えなさい。

（日本大学豊山中学校　２０２４年　問題２－（５））

【考え方】

分数の分子と分母がどちらも「整数×□（□の倍数）」で表せるとき、その分数は□で約分することができます。

ですから、

２８５＝３×５×１９

より、分子が３または５または１９の倍数の分数は約分ができます。

２８５は約分できる分子で、約分できない分子ではありませんから、分子を１以上２８５以下として考えても、１以上２８４以下の場合と同じ答えになります。

２８５÷３＝９５（個）…　３の倍数の個数

２８５÷５＝５７（個）…　５の倍数の個数

２８５÷１９＝１５（個）…　１９の倍数の個数

２８５÷１５＝１９（個）…　１５の倍数の個数

２８５÷５７＝５（個）…　５７の倍数の個数

２８５÷９５＝３（個）…　９５の倍数の個数

２８５÷２８５＝１（個）…　２８５の倍数の個数

（９５＋５７＋１５）－（１９＋５＋３）＋１＝１４１（個）…　約分できる分子の個数

２８５－１４１＝１４４（個）…　約分できない分子の個数

答え　１４４個

本問は、約分と倍数の関係が確認できる問題です。

もし、正解できないようでしたら、約分できる分母と分子の関係、３円のベン図の考え方のそれぞれについての知識を確かめましょう。

今回は、２０２４年度に男子中の入試で出された「約数と倍数」の基本問題をご紹介しました。

約数の個数や和の求め方、末尾の０の求め方、約分できることの意味、ベン図の使い方などは、計算の仕方とその理由を合わせて身につけておくことが望ましいです。

習い終えていても忘れたり間違えて覚えたりするようでしたら、できるだけ早めの復習をしておきましょう。