「第６９５回　共学中の入試問題　文章題 ２」

前回は、近年の共学中の入試で出された「文章題」の中から「消去算」と「差集め算」などの問題を見ました。

今回は「つるかめ算」を取り扱います。

では、１問目です。

【問題】あるお店では、１個９０円のチョコレートと１個８０円のガムが売られています。次の問いに答えなさい。

（１）チョコレートとガムを合わせて１０個買ったところ、代金は８６０円となります。それぞれ何個買ったのか求めなさい。

（２）チョコレートとガムを合わせて何個か買うと、代金は１２００円となります。それぞれ何個買ったのか求めなさい。ただし、どちらも少なくとも１個は買うものとします。

（３）チョコレートを１０個買うごとにガムを１個無料でもらえるものとします。チョコレートとガムを何個か買ったとき、無料でもらえるガムも含めて３０個になり、代金は２５００円となりました。チョコレートを何個買ったか、考えられる個数をすべて求めなさい。

（広尾学園中学校　２０２４年　問題２）

【考え方】

（１）

つるかめ算は、「もし、○○だけだったら…」と仮定することが解き方の基本です。

そこで、「もし、チョコレートだけを買った場合」から始めて、個数が変化したときの代金を表に整理します。

答え　チョコレート　６個、ガム　４個

（別解）…　規則性の利用

チョコレートだけを１０個買ったときの代金が９００円、実際の代金が８６０円、チョコレート１個とガム１個の代金の差が１０円ですから、チョコレート１個をガム１個に代えることを

（９００円－８６０円）÷１０円＝４回

繰り返せばよいことがわかります。

１０個－１個×４＝６個　…　チョコレートの個数

０個＋１個×４＝４個　…　ガムの個数

（２）

１２００が８０の倍数であることが利用できます。

１２００円÷８０円＝１５個

つまり、チョコレートを０個とガムを１５個買うと、代金が１２００円になります。

チョコレートを□円分買い、代わりにガムを□円分減らしても代金の１２００円は変わりません。

チョコレートの代金は９０の倍数、ガムの代金は８０の倍数ですから、□は９０と８０の公倍数です。

９０と８０の最小公倍数は７２０より、チョコレートを

７２０円÷９０円＝８個

買い、代わりにガムを

７２０円÷８０円＝９個

減らしたときの代金も１２００円です。

０個＋８個＝８個　…　チョコレートの個数

１５個－９個＝６個　…　ガムの個数

ガムの個数をさらに９個減らすことはできませんから、条件にあてはまる個数の組み合わせはこの１組だけです。

答え　チョコレート　８個、ガム　６個

（３）

３０個÷１０個＝３

ですから、無料でもらったガムは１個または２個です。

・無料でもらったガムが１個のとき

買ったチョコレートの個数は最も多い場合で１９個です。

チョコレートだけを１９個買うと代金の合計は

９０円×１９個＋８０円×（３０個－１個－１９個）＝２５１０円

です。

（２５１０円－２５００円）÷１０円＝１個

１９個－１個＝１８個　…　チョコレートの個数

・無料でもらったガムが２個のとき

買ったチョコレートの個数は最も多い場合で２８個です。

チョコレートだけを２８個買うと代金の合計は

９０円×２８個＋８０円×０＝２５２０円

です。

（２５２０円－２５００円）÷１０円＝２個

２８個－２個＝２６個　…　チョコレートの個数

答え　１８個、２６個

本問は、つるかめ算とその応用問題です。

（１）は基本レベルのつるかめ算、（２）は不定方程式タイプのつるかめ算で、いずれも大切な問題です。

（３）は応用レベルの問題ですが、「無料でもらったガムがなければ、基本レベルのつるかめ算と同じだから…」と考えることがポイントになっています。

それでは、２問目です。

【問題】花子さんは１個８０円のりんご、１個１２０円の梨、１個１６０円の柿を合わせて４６個買ったところ、代金は６１６０円でした。花子さんが買ったりんごと柿の個数の比が１：３のとき、梨の個数は何個ですか。

（青山学院中等部　２０２４年　問題５　問題文一部変更）

【考え方】

３種のつるかめ算です。

３種のつるかめ算は、表や面積図を利用して解くことができます。

ここでは表を用いることにします。

つるかめ算の基本の解き方は「もし、○○だったら…」と仮定することですから、「もし、りんごが０個だったら…」と仮定して、表を書いていきます。

８０円×０個＋１２０円×４６個＋１６０円×０個＝５５２０円

８０円×１個＋１２０円×４２個＋１６０円×３個＝５６００円

８０円×２個＋１２０円×３８個＋１６０円×６個＝５６８０円

表を見ると、右に１列に移ると代金が８０円増えていることがわかります。

（６１６０円－５５２０円）÷８０円＝８列

ですから、梨の個数は

４６個－（１個＋３個）×８列＝１４個

です。

答え　１４個

本問は、３種のつるかめ算の基本が確認できる問題です。

なお、「りんご１個、柿３個」の場合から考えても構いません。

今回は、２０２４年度に共学中の入試で出された「つるかめ算」の問題をご紹介しました。

「つるかめ算」は前回に取り扱った「差集め算」や「消去算」と合わせて、重要な文章題の問題です。

もし、正解できない問題があれば、条件整理の方法や着目する点に誤りがないか、できるだけ早めに確認をしましょう。