「第353回　立体図形の苦手克服術 4」


立体図形の克服について考えています。


今回は切断問題の中から、
図が与えられていない問題について見ていきます。




2017年度　早稲田中　第1回入試問題　より　

問題2-(3)　図は1辺の長さが6cmの立体です。この立方体を3つの点A、B、Cを通る平面で切り分けます。点Dを含む方の立体の体積は何cm³ですか。










立体切断の基本問題です。


「切断の3原則」を使って作図しましょう。






点Aと点Bは同じ面（立方体の左側面）の上にある2点ですから、
ABを結びます。





また、点Bと点Cも同じ面（立方体の底面）の上にある2点ですから、
BCを結びます。





しかし、点Aと点Cは同じ面の上にありませんから結ぶことはできません。





そこで原則の2番目「向かい合う平行な面の切り口は平行になる」を利用します。






上の図で、右側の側面の切り口が立方体の辺と交わる点をEとすると、
点Aと点Eは同じ面（立方体の奥の面）の上にある2点ですから、
結ぶことができます。





直線ABと直線CEは平行でしたから、
点Dを含まない立体の方が、体積は求めやすそうです。




図より、三角すいG-ECFの体積が2cm³とわかりますので、
三角すい台ECF-ABHの体積は52cm³、
求める立体の体積は216cm³－52cm³＝164cm³です。




この問題は切断された図は与えられていませんでしたが、
「切断の3原則」の
1番目「同じ面の上にある2点を結ぶ」と
2番目「向かい合う平行な面の切り口は平行になる」を用いて
図を描くことができました。


切断の3原則が習得できているかどうかが確認できる基本的な問題ですね。







では次に、
「切断の3原則」の3番目「辺を延長する」を用いる問題をご紹介します。




2017年8月6日実施　浜学園　第533回　公開学力テスト　小6算数　より　

問題5　右の図のような1辺の長さが10cmの立方体ABCD-EFGHがあります。BC、EF、DHの真ん中の点をそれぞれM、N、Oとし、立方体ABCD-EFGHを3点M、N、Oを通る平面で2つに切り分けます。このとき、Aを含む立体の体積は何cm³ですか。（一部改題）












与えられた3点は
お互いに
「ねじれの位置（平行でなく、しかも交わらない）」
にある辺の中点なので、
切断面が正六角形になることを
「知識」として知っていれば簡単に解ける問題ですが、
知らないと解くのは少し大変です。


「切断の3原則」の
1番目「同じ面の上にある2点を結ぶ」と
2番目「向かい合う平行な面の切り口は平行になる」を
用いることができませんので、
3番目「辺を延長する」を利用します。







このとき、立方体を真上から見ると次のようになります。





このことから、
切断面（正六角形）の頂点は
すべて立方体の辺の中点を通ることがわかります。






これで作図ができました。


この切断面は立方体の中心を通りますので、
立方体の体積を二等分します。

答え　500cm³　






この問題が初めての場合は、
試行錯誤して「おおよその切断面」をいったん描いた後、
切り口（六角形）が立方体の辺の中点を通らないと
うまくいかない（向かい合う面の切り口が平行にならない）ことから図を修正し、
体積を求めることができれば十分です。


また、この問題ができなかった場合でも、
次の図のように点Oを辺CDの真ん中の点に変えた問題で、
「切断の3原則」の3番目「辺を延長する」を用いて作図ができれば、
「切断の3原則」を理解できているといえます。







今回は、切断された図が与えられていない問題について見ました。


このような問題を克服するため、
「切断の3原則」が早く習得できるといいですね。