「第６９２回　共学中の入試問題　場合の数 ２」

近年の共学中の入試で出された「場合の数」について考えています。

前回は「場合の数」の基本レベルの問題を取り扱いました。

今回は、「場合分け」と「計算の活用」について見ていきます。

１問目は、「じゃんけん」がテーマの問題です。

【問題】Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人がジャンケンを１回するとき、次の問いに答えなさい。

（１）Ａがパーを出したとき、あいこになる場合は何通りありますか。

（２）Ａが勝つ場合は何通りありますか。ただし、２人以上が勝つ場合も含みます。

（法政大学中学校　２０２４年　問題３）

【考え方】

（１）

あいこになるのは、４人の出した手が１種類だけの場合と３種類すべての場合です。

（１種類だけの場合）

Ａがパーを出しているので、他の３人もパーを出す場合の１通りです。

（３種類すべての場合）

４人で３種類の手を出しますから、同じ種類の手を出した人が２人います。

・グー、グー、チョキ、パーのとき

Ａがパーを出しているので、「チョキ」に着目すると

３Ｃ１＝３通り

とわかります。

・グー、チョキ、チョキ、パーのとき

Ａがパーを出しているので、「グー」に着目すると

３Ｃ１＝３通り

とわかります。

・グー、チョキ、パー、パーのとき

Ａがパーを出しているので、残りの３人の手がグー、チョキ、パーです。

よって、全部で

１通り＋３通り＋３通り＋６通り＝１３通り

です。

答え　１３通り

（２）

Ａだけが勝つ場合、Ａを含めた２人が勝つ場合、Ａを含めた３人が勝つ場合の３つの場合があります。

（Ａだけが勝つ場合）

（Ａ、他の３人）＝（グー、チョキ）、（チョキ、パー）、（パー、グー）の３通りがあります。

（Ａを含めた２人が勝つ場合）

勝つ人の組み合わせが（Ａ、Ｂ）、（Ａ、Ｃ）、（Ａ、Ｄ）の３通り、手の出し方は（勝つ２人、負ける２人）＝（グー、チョキ）、（チョキ、パー）、（パー、グー）の３通りですから、

３通り×３通り＝９通り

です。

（Ａを含めた３人が勝つ場合）

Ｂ、Ｃ、Ｄの３人のうちの１人だけが負ける場合ですから、負ける人の選び方は３通りです。

また、手の出し方は（勝つ３人、負ける１人）＝（グー、チョキ）、（チョキ、パー）、（パー、グー）の３通りですから、

３通り×３通り＝９通り

です。

よって、

３通り＋９通り＋９通り＝２１通り

です。

答え　２１通り

本問は、「人を決める　→　手を決める」のように２段階で解くという方針立てを確認できる問題です。

１つの計算式だけで求めることが難しい問題では、このように２段階に分けて考えていくことがポイントになります。

２問目も、「じゃんけん」がテーマの問題です。

【問題】５人で１回じゃんけんをするとき、あいこになる５人の手の出し方は全部で何通りですか。

（東京農業大学第一高等学校中等部　２０２４年　問題２－（３））

【考え方】

５人にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの名前を付けると、Ａの手の出し方はグー、チョキ、パーの３通り、Ｂの手の出し方もグー、チョキ、パーの３通り、…、Ｅの手の出し方もグー、チョキ、パーの３通りがありますから、５人の手の出し方は全部で

３通り×３通り×３通り×３通り×３通り＝２４３通り

あります。

また、５人がじゃんけんをして勝負が決まる手の出し方は、グーとチョキ、チョキとパー、パーとグーの３通りです。

さらに、勝つ人数は１人だけ、２人、３人、４人つの４つの場合があります。

１人が勝つ場合　…　５Ｃ１＝５通り

２人が勝つ場合　…　５Ｃ２＝（５×４）/（２×１）＝１０通り

３人が勝つ場合　…　２人が負けることになるので、５Ｃ２＝１０通り

４人が勝つ場合　…　１人が負けることになるので、５Ｃ１＝５通り

ですから、全部で

５通り＋１０通り＋１０通り＋５通り＝３０通り

あります。

手の出し方が３通り、勝つ人が３０通りありますから、５人がじゃんけんをして勝負が決まる場合の数は

３通り×３０通り＝９０通り

とわかります。

よって、あいこになる５人の手の出し方は、勝負が決まる場合以外の

２４３通り－９０通り＝１５３通り

です。

本問は、すべての場合の数から求める答え以外の場合の数を引く、「余事象」と呼ばれる考え方が確認できる問題です。

あいこになる場合から考えて正解できなかったときは、勝負が決まる場合を先に考える解き方を使って直しをしてみましょう。

最後は「分け方」の問題です。

【問題】今日はＡさんの誕生日です。ＢさんとＣさんの２人でケーキを６個買い、Ａさんの家で誕生日パーティーをすることになりました。このケーキを３人で分けるとき、次の問いに答えなさい。ただし、誕生日のＡさんは必ずケーキを１個以上もらえるものとします。

（１）ケーキの種類がすべて異なるとき、６個のケーキを２個ずつ３人に分ける分け方は何通りありますか。

（２）ケーキの種類がすべて同じとき、６個のケーキを３人で分ける方法は何通りありますか。ただし、ＢさんとＣさんは１個ももらえなくても良いものとします。

（３）ケーキの種類がすべて異なるとき、６個のケーキを３人で分ける分け方は何通りありますか。ただし、１個ももらえない人がいてはいけないものとします。答えだけでなく、途中の計算や考え方も書きなさい。

（江戸川学園取手中学校　２０２４年　問題５）

【考え方】

（１）

はじめに、Ａさんが６個の中から２個を選ぶことにします。

６Ｃ２＝（６×５）/（２×１）＝１５通り

次に、Ｂさんが残りの４個の中から２個を選ぶことにします。

４Ｃ２＝（４×３）/（２×１）＝６通り

Ｃさんは残った２個をもらうので、１通りです。

１５通り×６通り×１通り＝９０通り

答え　９０通り

（２）

６個のケーキのうち、Ａさんが必ずもらう１個を除いた５個の分け方を考えます。

ケーキを○、取り分を決めるための棒を｜で表します。

例えば、次の図１のようにケーキの間に棒を置くと、Ａさんが１個、Ｂさんが２個、Ｃさんが２個もらえます。

また、図２の場合はＡさんが０個、Ｂさんが５個、Ｃさんが０個もらえます。

ですから、５個のケーキの分け方は、つぎのような７つのマスの中に５個のケーキと２本の棒を入れる場合の数と同じです。

２本の棒を入れるマスの選び方は、

７Ｃ２＝（７×６）/（２×１）＝２１通り

あります。

答え　２１通り

（３）

個数について場合分けをし、（１）と同じように考えていきます。

（１個、１個、４個）の場合

Ａさんが１個、Ｂさんが１個、Ｃさんが４個のケーキをもらうとします。

はじめにＡさんが６個の中から１個を選ぶ方法は６通り、次にＢさんが残りの５個の中から１個を選ぶ方法は５通り、最後にＣさんは残った４個をもらうので１通りですから、場合の数は

６通り×５通り×１通り＝３０通り

です。

ケーキを４個もらう人はＡさん、Ｂさん、Ｃさんの３通りの場合がありますから、全部で

３０通り×３通り＝９０通り

です。

（１個、２個、３個）の場合

Ａさんが１個、Ｂさんが２個、Ｃさんが３個のケーキをもらうとします。

はじめにＡさんが６個の中から１個を選ぶ方法は６通り、次にＢさんが残りの５個の中から２個を選ぶ方法は５Ｃ２＝１０通り、最後にＣさんは残った３個をもらうので１通りですから、場合の数は

６通り×１０通り×１通り＝６０通り

です。

もらうケーキの個数の決め方は

ですから、全部で

６０通り×６通り＝３６０通り

です。

（２個、２個、２個）の場合

（１）で求めた９０通りです。

以上より、全部で

９０通り＋３６０通り＋９０通り＝５４０通り

です。

答え　５４０通り

本問は、場合分け、２段階で考える、「○｜解法」などが確認できる問題です。

（３）は難しい問題ですが、（１）が誘導になっています。

今回は、２０２４年度に共学中の入試で出された「場合分け」と「計算の活用」の問題をご紹介しました。

１問目と２問目はどちらも「じゃんけん」がテーマの問題でしたが、順に考えていく１問目、余事象を利用する２問目のように、「場合の数」の問題は同じテーマでも求めるものや条件が変わると解き方も変わることがあります。

正解できない問題があれば、このような違いに気をつけて解いたかを確認してみましょう。