「第６６８回　共学中の入試問題　数と計算 ５」

これまで近年の共学中の入試問題でだされた「数と計算」の問題について見てきましたが、今回はその最終回です。

テーマは前回に引き続き「数の規則性」です。

では、１問目です。

【問題】ある整数が偶数であればその数を２で割り、奇数であればその数を３倍して１を加えるという操作を繰り返し行い、１になれば操作を終了します。例えば、１０から始めると、１０→５→１６→８→４→２→１となり、６回の操作で１になります。

（１）１２から始めると、何回の操作で１になりますか。

（２）１２８から始めると１２８→６４→３２→１６→８→４→２→１となり、７回の操作で１になります。このように、７回の操作で１になる整数の中で１２８以外のものをすべて答えなさい。

（芝浦工業大学柏中学校　２０２４年　問題３）

【考え方】

（１）

１２は偶数なので２で割って６になります。　…　１回目

６は偶数なので２で割って３になります。　…　２回目

３は奇数なので３倍して１を足すと１０になります。　…　３回目

１０は問題文中の例から、６回の操作で１になります。

よって、１２は

３回＋６回＝９回

の操作で１になります。

答え　９回

（２）

１から遡って調べます。

答え　３、２０、２１

本問は、数の操作に関する問題の基本が確認できる問題です。

問題のルールに従うこと、順序よく調べられることが求められています。

２問目も１問目とよく似た問題ですが、作業量がやや多くなっています。

【問題】２以上の整数Ｎに対して、以下の操作を行います。

（操作）Ｎが７の倍数のときは、７で割り、７の倍数でないときは１を足す。

この操作を１になるまで続けます。例えば、Ｎが２４のときは、２４→２５→２６→２７→２８→４→５→６→７→１となります。また、１になるまでに行った操作の回数を「Ｎ」と表すことにします。この例は、操作を９回行っているので、「２４」＝９となります。

（１）「２０２４」はいくつですか。

（２）「Ｎ」＝６となる２以上の整数Ｎは何個ありますか。

（３）「２」＋「３」＋「４」＋「５」＋…＋「４９」はいくつですか。

（栄東中学校　２０２４年　問題５）

【考え方】

（１）

２０２４÷７＝２８９あまり１

なので、はじめに「１を足す」という操作を６回行います。

２０２４＋１×６＝２０３０

２０３０は７の倍数ですから、７で割ります。

２０３０÷７＝２９０

２９０÷７＝４１あまり３

なので、「１を足す」という操作を４回続けて行います。

２９０＋１×４＝２９４

２９４は７の倍数なので、７で割ります。

２９４÷７＝４２

４２も７の倍数なので、７で割ります。

４２÷７＝６

以下、６→７→１となります。

よって、

「２０２４」＝６＋１＋４＋１＋１＋２＝１５

です。

答え　１５

（２）

少し調べてみます。

「Ｎ」＝１のとき１個、「Ｎ」＝２のとき２個、「Ｎ」＝３のとき４個、…のように、操作が１回増えると、整数Ｎの個数は２倍になっています。

ですから、「Ｎ」＝６となる整数の個数は

１個×２×２×２×２×２＝３２個

です。

答え　３２個

（３）

これも調べてみましょう。

Ｎ＝２のとき

２÷７＝０あまり２ ですから、「１を足す」を５回行うと７になります。

「２」＝５＋１＝６

Ｎ＝３のとき

３÷７＝０あまり３ ですから、「１を足す」を４回行うと７になります。

「３」＝４＋１＝５

・

・

・

Ｎ＝６のとき

６÷７＝０あまり６ ですから、「１を足す」を１回行うと７になります。

「６」＝１＋１＝２

Ｎ＝７のとき

「７」＝１です。

Ｎ＝８のとき

８÷７＝１あまり１ ですから、「１を足す」を６回行うと１４になり、次に「７で割る」と２になります。

「８」＝６＋１＋「２」＝６＋１＋６＝１３

Ｎ＝９のとき

９÷７＝１あまり２ ですから、「１を足す」を５回行うと１４になり、次に「７で割る」と２になります。

「９」＝５＋１＋「２」＝１２

・

・

・

Ｎ＝１３のとき

１３÷７＝１あまり６ ですから、「１を足す」を１回行うと１４になり、次に「７で割る」と２になります。

「１３」＝１＋１＋「２」＝８

Ｎ＝１４のとき

１４÷７＝２ ですから、「１４」＝１＋「２」＝７です。

Ｎ＝１５のとき

１５÷７＝２あまり１ ですから、「１を足す」を６回行うと２１になり、次に「７で割る」と３になります。

「１５」＝６＋１＋「３」＝１２

これらのことから、次のように整理できます。

よって、

「２」＋「３」＋「４」＋「５」＋…＋「４９」

＝６＋５＋…＋１＋（７＋６＋…＋１）×６＋（「２」＋「３」＋…＋「７」）×７

＝２１＋２８×６＋（６＋５＋…＋１）×７

＝２１＋１６８＋１４７

＝３３６

です。

答え　３３６

本問は、規則性の見つけ方が確認できる問題です。

規則が見つかるまで調べ、その結果を表などにまとめて見やすくすると、そのあとの方針を立てやすくなります。

今回は、２０２４年度の共学中の入試で出された「数の規則性」の問題をご紹介しました。

１問目は丁寧な作業、２問目はそれに加えて調べたことを整理して規則を見つけるという問題でした。

１問目の（１）から２問目の（３）まで、階段状に難度が上がっています。

「数の規則性」の問題は入試や模擬テストでもよく出されますので、もし、つまずいた小問があれば、その難度に応じた類題で演習をして弱点をなくすようにしましょう。