「第６６５回　共学中の入試問題　数と計算 ２」

前回から、近年の共学中の入試問題について考えています。

今回も「数と計算」の問題を見ていきます。

テーマは「約数と倍数」です。

１問目は、基本レベルの問題です。

【問題】１３６１、１６４９のどちらを割っても、余りが１７になるような整数のうち、最大のものを求めなさい。

（中央大学附属中学校　２０２３年　問題１－（３））

【考え方】

問題文を式で表します。

１３６１÷□＝商あまり１７

１６４９÷□＝商あまり１７

「割る数 ＞ 余り」ですから、□は１８以上の整数とわかります。

次に、割り算の式をかけ算の式に書き直します。

□×商＋１７＝１３６１　→　□×商＝１３６１－１７＝１３４４

□×商＋１７＝１６４９　→　□×商＝１６４９－１７＝１６３２

よって、□は１３４４と１６３２の公約数です。

「公約数は最大公約数の約数」なので、最大公約数を求めます。

２×２×２×２×２×３＝９６　…　最大公約数

以上より、□は９６の約数の中で１８以上の数とわかります。

このうち最大のものを求めますので、答えは最大公約数の９６です。

答え　９６

本問は、公約数の基本が確認できる問題です。

「公約数は最大公約数の約数」はもちろんですが、今回は利用しなかった「割る数 ＞ 余り」も大切な知識です。

２問目も、基本レベルの問題です。

【問題】３で割っても７で割っても２あまる整数のうち、１００に最も近い整数を求めなさい。

（芝国際中学校　２０２３年　問題２－（１））

【考え方】

問題文を式で表します。

□÷３＝商あまり２

□÷７＝商あまり２

割り算の式をかけ算の式に書き直します。

□＝３×商＋２　→　□＝３の倍数＋２

□＝７×商＋２　→　□＝７の倍数＋２

このことは、次のような線分図に表せます。

「公倍数は最小公倍数の倍数」なので、

□＝２１の倍数＋２　→　□＝２１×■＋２

です。

このうち、１００に最も近い整数を求めます。

■＝（１００－２）÷２１＝４.６…

よって、■は４と５の２つが考えられます。

■＝４のとき　２１×４＋２＝８６

■＝５のとき　２１×５＋２＝１０７

このうち、１００に最も近いのは１０７です。

答え　１０７

本問は、「公倍数は最小公倍数の倍数」という大切な知識が確認できる問題です。

「公約数は最大公約数の約数」とセットにして覚えておきましょう。

３問目は少し難しい表現が使われた問題ですが、考え方は基本レベルです。

【問題】ある分数は、７ １/８をかけると整数Ａに、１２ ２/３をかけると整数Ｂになります。ただし、整数ＡとＢには１以外の公約数はありません。ある分数を答えなさい。

（青山学院中等部　２０２３年　問題３　問題文一部変更）

【考え方】

ある分数を■/□として、問題文を式で表します。

約分をするとそれぞれＡ/１、Ｂ/１となるので、（ア）から□は５７の約数、■は８の倍数、（イ）から□は３８の約数、■は３の倍数とわかります。

つまり、□は５７と３８の公約数、■は８と３の公倍数です。

５７と３８の最大公約数は

より１９なので、□は１と１９の２つがあります。

しかし、□＝１のときは■/□が分数にならないので条件にあてはまりません。　→　□＝１９

また、８と３の公倍数は最小公倍数の２４の倍数です。　→　■＝２４×☆

よって、

■/□ ＝２４×☆/１９

と表せます。

ですから、整数ＡとＢは

となります。

さらに「整数ＡとＢには１以外の公約数はありません」という条件から、☆＝１と決まります。

よって、求める分数は２４/１９です。

答え　２４/１９（１ ５/１９）

本問は、「分数×分数＝整数」の考え方が確認できる問題です。

「整数ＡとＢには１以外の公約数はありません」という条件が、「最も小さい分数を求めなさい」と同じ意味であること注意しましょう。

最後は大問形式の問題です。

【問題】１００以上３００以下の偶数について、次の問いに答えなさい。

（１）この偶数は何個ありますか。

（２）この偶数のうち、３で割り切れる整数は何個ありますか。

（３）この偶数のうち、３または５で割り切れる整数は何個ありますか。

（山手学院中学校　２０２３年　問題３）

【考え方】

（１）

偶数は２の倍数のことですから、条件は

１００ ≦ ２×□ ≦ ３００

と表せます。

２×□＝１００　→　□＝５０

２×□＝３００　→　□＝１５０

□は５０以上１５０以下の整数ですから、２×□は

１５０個－４９個＝１０１個

あります。

答え　１０１個

※ 別解

（３００個－１００個）÷２＝１００個

１００個＋１個＝１０１個

（２）

「２でも３でも割り切れる整数」という意味ですから、２と３の公倍数の個数を求めます。

２と３の公倍数は最小公倍数の６の倍数です。

（１００－１）÷６＝１６あまり３　→　９９以下の６の倍数は１６個

３００÷６＝５０　→　３００以下の６の倍数は５０個

５０個－１６個＝３４個

答え　３４個

（３）

条件をベン図で表します。

（２）よりも増えた部分は、「２でも５でも割り切れる数（２と５の公倍数）」から「２でも３でも５でも割り切れる数（２と３と５の公倍数）」（赤線部分）を取り除いた部分（水色）です。

２と５の公倍数は最小公倍数の１０の倍数です。

（１００－１）÷１０＝９あまり９　→　９９以下の１０の倍数は９個

３００÷１０＝３０　→　３００以下の１０の倍数は３０個

３０個－９個＝２１個　→　１００～３００の１０の倍数は２１個

２と３と５の公倍数は最小公倍数の３０の倍数です。

（１００－１）÷３０＝３あまり９　→　９９以下の３０の倍数は３個

３００÷３０＝１０　→　３００以下の３０の倍数は１０個

１０個－３個＝７個　→　１００～３００の３０の倍数は７個

よって、（２）より増えた個数は

２１個－７個＝１４個

です。

３４個＋１４個＝４８個

答え　４８個

本問は、倍数の個数の考え方が確認できる問題です。

解答例ではベン図を利用しましたが、周期算を利用する解き方もあります。

※ 周期算を利用した（３）の解答例

２と３と５の最小公倍数は３０なので、１００～１２９について調べます。

１セット３０個の中に７個あります。

３００－１００＋１＝２０１

２０１個÷３０個＝６セットあまり２１個

７個×６セット＋６個＝４８個

今回は、近年の共学中の入試で出された「約数と倍数」がテーマの問題をご紹介しました。

最後の問題の（３）は難しい問題ですが、その他の問題は基本の考え方を使って解くことができます。

基本レベルの問題の中に正解できない問題があるときは、すぐにおさらいをしましょう。