第661回 女子中の入試問題 文章題 4
「第６６１回 女子中の入試問題 文章題 ４」
近年の女子中の入試で出された「文章題」の問題について考えています。
今回は、「平均算」、「集合算」の問題を取り扱います。
１問目は、平均算の基本レベルの問題です。
【問題】Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５人がテストを受けました。ＡとＢとＣとＤの４人の平均点は７８点、ＡとＣとＤとＥの４人の平均点は８０点、ＡとＤとＥの３人の平均点は７９点、ＢとＤの２人の平均点は７７点でした。Ａの得点は何点ですか。
（横浜共立学園中学校 ２０２３年 問題１－（３） 問題文一部変更）
【考え方】
条件を表に整理します。
「平均点×人数＝合計点」を用いて合計点を計算します。
はじめに（イ）と（ウ）を比べると、Ｃの得点がわかります。
３２０点－２３７点＝８３点
Ｃの得点がわかったので、Ｃを除いた表に書きかえます。
３１２点－８３点＝２２９点 … （ア’）
次に（ア’）と（エ）を比べると、Ａの点数がわかります。
２２９点－１５４点＝７５点
答え ７５点
本問は、平均から合計を求めるという平均算の基本が確認できる問題です。
消去算との融合問題ですが、表に整理することで考えやすくなります。
２問目も、平均算の基本レベルの問題です。
【問題】Ａさんがこれまでに受けたテストの平均点は６３点でした。今回のテストの点数は８１点で、Ａさんのテストの平均点は６６点になりました。今回のテストは何回目のテストですか。
（田園調布学園中等部 ２０２３年 問題１－（６））
【考え方】
これまでに受けたテストの回数がわかりませんので、「平均点×テストの回数＝合計点」を使うことができません。
このようなときは、面積図や天びん図を利用します。
ここでは面積図を用いることにします。
「平均」は「ならす（面積図を平らにする）」という意味です。
よって、図の★と☆の面積は同じです。
８１点－６６点＝１５点 … ★＝☆
（６６点－６３点）×□回＝１５点 → □＝５（回） … これまでに受けたテストの回数
ですから、今回のテストは
５回＋１回＝６回目
です。
答え ６回目
本問は、面積図を利用して解く平均算の考え方が確認できる問題です。
「平均×回数など＝合計」と面積図はどちらも大切な知識です。
１、２問目を正解できなかったときは、平均算の基本問題でおさらいをしましょう。
３問目は、大問形式の平均算です。
【問題】１以上１００以下の整数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆがあり、大小関係はＡ＜Ｂ＜Ｃ＜Ｄ＜Ｅ＜Ｆとなっています。ＡとＢの平均は２０.５、ＥとＦの平均は８２、ＡとＢとＣの平均は３４、ＤとＥとＦの平均は７９であるとき、次の問いに答えなさい。
（１）ＣとＤをそれぞれ求めなさい。
（２）ＢとＥの平均は最も小さくていくつと考えられますか。
（学習院女子中等科 ２０２３年 問題３）
【考え方】
（１）
条件を表に整理します。
「平均×個数＝合計」を用いて合計を計算します。
（ア）と（ウ）を比べると、Ｃがわかります。
１０２－４１＝６１ … Ｃ
また、（イ）と（エ）を比べると、Ｄがわかります。
２３７－１６７＝７３ … Ｄ
答え Ｃ ６１、 Ｄ ７３
（２）
表を整理し直します。
ＢとＥの平均を最も小さくするということは、ＢとＥの合計を最も小さくすることと同じなので、Ｂ、Ｅがそれぞれ最も小さい場合を考えます。
ＡとＢの平均が２０.５で、Ａ＜Ｂですから、最も小さいＢは２１です。
※Ａ＝Ｂと仮定して、４１÷２＝２０.５ から Ｂ＝２１ を求めることもできます。
ＥとＦについても数直線で考えます。
「８２と７３の差」と「８２と１００の差」とでは、「８２と７３の差」の方が小さいので、Ｅ＝７４とわかります。
（２１＋７４）÷２＝４７.５
答え ４７.５
本問の（１）は１問目と同じ考え方、（２）は「２数の平均」と「２数の真ん中」は同じであるという知識が確認できる問題です。
（２）が正解できなかったときは、解答例のように数直線で考えてみましょう。
４問目は、集合算の基本レベルの問題です。
【問題】ある学校の生徒１６０人に通学方法についてのアンケートをとったところ、バスを使っている生徒は全体の７０％、自転車を使っている生徒は全体の２５％、どちらも使っていない生徒は全体の１０％でした。バスと自転車の両方を使っている生徒の人数を求めなさい。
（晃華学園中学校 ２０２３年 問題１－（２））
【考え方】
分類項目がバスと自転車の２つですので、分類表またはベン図に整理します。
ここではベン図を利用することにします。
なので
７０％＋２５％－★＋１０％＝１００％ → ★＝５％
です。
１６０人×０.０５＝８人
答え ８人
本問は、ベン図の読み取り方の基本が確認できる問題です。
なお、それぞれの通学者の生徒数を求めてから解いても構いません。
最後も、集合算の問題です。
【問題】ある中学校で、理科、社会、英語について、得意な人数を調べました。理科が得意な人は１５１人、社会が得意な人は１７２人、理科と英語が得意な人は６０人、理科と社会が得意な人は７３人、理科と英語が得意で社会は得意でない人は（①）人、理科のみ得意な人は７６人、社会のみ得意な人は８５人、英語のみ得意な人は８０人で、３教科とも得意でない人は３人でした。このとき、この学校の中学生は（②）人です。（①）、（②）にあてはまる数を書きなさい。
（立教女学院中学校 ２０２３年 問題１－（８） 問題文一部変更）
【考え方】
分類項目が理科と社会と英語の３つですので、ベン図を利用します。
１５１人－（７６人＋７３人）＝２人 … ①
１７２人－（８５人＋７３人）＝１４人 … ★
ですから、中学生全体の人数は
１５１人＋８５人＋１４人＋８０人＋３人＝３３３人 … ②
です。
答え ① ２、 ② ３３３
本問は、３つの分類項目があるベン図の読み取りが確認できる問題です。
条件がたくさんありますが、ひとつひとつの条件をていねいに整理すれば正解が可能な問題です。
今回は、２０２３年度の女子中の入試で出された「平均算」と「集合算」の問題をご紹介しました。
どの問題も考えやすくなるように条件を整理することがポイントとなっています。
正解できなかったときは、整理の仕方、読み取りに課題がないかをチェックして、修正していきましょう。
