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第655回　女子中の入試問題　立体図形 2

図形の練習問題｜ 2024年01月27日18時00分

「第６５５回　女子中の入試問題　立体図形２」

前回より、２０２３年度に女子中で出された「立体図形」の問題を取り扱っています。

今回は「回転体」について見ていきます。

１問目は基本レベルの問題です。

５年生でも、回転体を学習し終えていれば挑戦できるでしょう。

【問題】縦２０㎝、横１２㎝の長方形の厚紙から、図のように２つの長方形を切り取って、棒にはりつけました。この棒を軸に、厚紙を１回転させてできる立体の体積は何㎤ですか。ただし、円周率は３.１４とします。

（東洋英和女学院中学部　２０２３年　問題８）

【考え方】

体積を求めるときは、見取り図をかくと考えやすくなります。

半径が１２㎝の円柱と、半径が

１２㎝－６㎝＝６㎝

の円柱の体積の和から、半径が２㎝の円柱の体積を引きます。

１２㎝×１２㎝×３.１４×（８㎝＋４㎝）＝１７２８㎤×３.１４　…　半径１２㎝の円柱

６㎝×６㎝×３.１４×（２０㎝－８㎝－４㎝）＝２８８㎤×３.１４　…　半径６㎝の円柱

２㎝×２㎝×３.１４×（２０㎝－７㎝－９㎝）＝１６㎤×３.１４　…　半径２㎝の円柱

（１７２８㎤＋２８８㎤－１６㎤）×３.１４＝２０００㎤×３.１４＝６２８０㎤

答え　６２８０㎤

本問は、回転体の見取り図の作図と計算の工夫が確認できる基本レベルの問題です。

「×３.１４」をひとまとめにして計算をすると、計算間違いを防ぎやすくなります。

では、２問目です。

軸から離れた図形を回転させる問題で１問目よりも難しくなりますが、これも大切な問題です。

【問題】下の図のような直角三角形ＡＢＣを直線ℓのまわりに１回転させてできる立体の体積は何㎤ですか。円周率は３.１４で計算してください。

（淑徳与野中学校　２０２３年　問題２－（４）　問題文一部変更）

【考え方】

回転体の見取り図は、回転させる図形を軸と線対称な位置にかき足し、対応する頂点をなめらかな曲線で結んでかきます。

見取り図より、できる立体は円すい台から円柱を取り除いたものです。

円すい台の体積は、大きな円すいから小さな円すいを引いて求めます。

大小の円すいの体積を求めるために、円すいの断面図が必要となります。

そこで、問題で与えられている図を利用します。

赤線の三角形は三角形ＡＢＣと相似、水色の三角形は三角形ＡＢＣと合同なので、円すい（大）は底面の半径が６㎝、高さが８㎝、円すい（小）は底面の半径が３㎝、高さが４㎝とわかります。

６㎝×６㎝×３.１４×８㎝×１/３＝９６㎤×３.１４　…　円すい（大）

３㎝×３㎝×３.１４×４㎝×１/３＝１２㎤×３.１４　…　円すい（小）

３㎝×３㎝×３.１４×４㎝＝３６㎤×３.１４　…　円柱

（９６㎤－１２㎤－３６㎤）×３.１４＝４８㎤×３.１４＝１５０.７２㎤

答え　１５０.７２㎤

本問は軸から離れた図形を回転させるときの考え方が確認できる問題です。

１問目よりは難しい問題ですが重要な問題ですので、解き方を忘れていたときは必ず復習をしましょう。

なお、解答例では見取り図をかくところから始めていますが、学習が十分にできている場合はすぐに断面図から考え始めても構いません。

また、次のように体積比を利用して解くこともできます。

最後は応用レベルの問題です。

【問題】図のようなＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣがあります。この三角形を、直線ｍを軸として１回転してできる立体をＶとします。ただし、直線ｍと辺ＢＣは垂直です。このとき、ＣＤの長さと、立体Ｖの表面積を求めなさい。答えを出すために必要な式、図、考え方なども書きなさい。また、円周率の値を用いるときは、３.１４として計算しなさい。