「第６４８回　女子中の入試問題　平面図形 １」

今回から、２０２３年度に女子中で出された「平面図形」を見ていきます。

その１回目となる今回は「角の大きさ」に関する問題を取り扱います。

１問目は基本レベルの問題です。

４、５年生でも既習であればチャレンジしてみましょう。

【問題】下の図で、角xの大きさは何度ですか。ただし、同じ印のついた角の大きさは等しいものとします。

（品川女子学院中等部　２０２３年　問題２－（４）　問題文一部変更）

【考え方】

「○と×の和や差に着目」が、角の○×問題の基本の解き方です。

ここでは、さらに「三角形の１つの外角の大きさは、その隣りにない２つの内角の和に等しい」という外角定理も利用します。

６０度＋○○＝××　→　××－○○＝６０度

角x＋○＝×　→　×－○＝角x

（×－○）は（××－○○）の半分です。

６０度÷２＝３０度

答え　３０度

本問は、角の○×問題の解き方と三角形の外角定理が確認できる問題です。

２問目も、基本レベルの問題です。

【問題】図は、正三角形を折り返してできた図形です。角xの大きさは何度ですか。

（大妻中学校　２０２３年　問題２）

【考え方】

折り返しの問題は、線対称図形の特徴を利用して解きます。

折り返す前の図形と折り返した後の図形は合同ですから、次のようになります。

○○は赤色の三角形の外角ですから

○○＝８４度＋６０度＝１４４度　→　○＝７２度

です。

水色の三角形の内角の和は１８０度なので

角x＝１８０度－（６０度＋７２度）＝４８度

です。

答え　４８度

本問は、折り返した図形の基本が確認できる問題です。

なお、解答例では右下の三角形に着目しましたが、左下の三角形に着目しても構いません。

（６０度＋３６度）÷２＝４８度

では、３問目です。

【問題】次の図において、ＡＣ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ、ＢＤ＝ＤＥ＝ＥＢです。このとき、角x、y、zはそれぞれ何度ですか。

（立教女学院中学校　２０２３年　問題１－（7）　問題文一部変更）

【考え方】

はじめに、角xがある三角形ＡＢＣに着目します。

三角形ＡＢＣはＡＣ＝ＢＣの二等辺三角形ですから、角xの大きさは

１８０度－７０度×２＝４０度

です。

次に、角yがある三角形ＡＢＤに着目します。

三角形ＡＣＤはＡＣ＝ＣＤ＝ＤＡの正三角形ですから、角ＡＣＤ＝６０度です。

また、三角形ＢＣＤはＢＣ＝ＣＤの二等辺三角形ですから、○の角の大きさは

｛１８０度－（４０度＋６０度）｝÷２＝４０度

です。

二等辺三角形ＡＢＣは角ＢＡＣ＝角ＡＢＣ＝７０度なので、角yの大きさは

７０度－４０度＝３０度

です。

ここまでにわかったことを図に書き込みます。

三角形ＢＤＥはＢＤ＝ＤＥ＝ＥＢの正三角形ですから、角ＢＤＥ＝６０度です。

角z＋×＝６０度＝×＋角ＣＤＢ（４０度）　→　角z＝４０度

答え　角x　４０度、　角y　３０度、　角z　４０度

本問は二等辺三角形や正三角形に着目する問題です。

正解できないときは解答例のように、図形を抜き出して考えてみましょう。

続けて、４問目です。

【問題】次の図は、正九角形です。○あの角度は何度ですか。

（香蘭女学校中等科　２０２３年　問題１－（１３）　問題文一部変更）

【考え方】

「正多角形は円にピッタリくっつく（内接する）」が利用できます。

さらに「円問題の補助線は円の半径」を使います。

３６０度÷９＝４０度

（１８０度－４０度×３）÷２＝３０度　…　○

（１８０度－４０度×４）÷２＝１０度　…　○

（１８０度－４０度×２）÷２＝５０度　…　○

○あは赤色三角形の外角なので、

２０度＋８０度＝１００度

です。

答え　１００度

本問は、正多角形と角の関係、円問題の補助線について確認できる問題です。

円問題の補助線を引いてできる二等辺三角形を利用できるか、チェックしましょう。

なお、この問題も前問と同じように他の角の大きさから求めることもできます。

最後の問題は、応用レベルの問題です。

【問題】下の図のようなおうぎ形ＡＯＢがあります。このおうぎ形をＢＣを折り目として折ると、点Ｄが点Ｏに重なります。このとき、○あの角度は何度ですか。

（吉祥女子中学校　２０２３年　問題１－（６））

【考え方】

おうぎ形を折った図を重ねます。

弓形ＢＤＣと弓形ＢＯＣは合同ですからＢＤ＝ＢＯです。

また、円問題の補助線として半径ＯＤをかくと、ＯＤ＝ＢＯ＝半径よりＢＤ＝ＢＯ＝ＯＤとなり、三角形ＯＢＤが正三角形であることがわかります。

よって、

角ＡＯＤ＝１２８度－６０度＝６８度

です。

ところで、ＯＡ＝ＯＤ＝半径ですから、三角形ＡＯＤは二等辺三角形です。

（１８０度－６８度）÷２＝５６度　…　○あ

答え　５６度

本問は、２問目の折り返し、３問目の二等辺三角形と正三角形、４問目の円問題の補助線について確認ができる応用問題です。

どれも大切な知識ですので、もし正解できなかったときは、２～４問目のような問題でそれぞれの知識が使えるように練習をしましょう。

今回は、２０２３年度の女子中の入試で出された「角の大きさ」の問題をご紹介しました。

三角形の外角定理や折り返しに関する知識、○×問題や円問題を解くときの考え方などは角の大きさの問題にとって大切です。

基本レベルの１～４問目で正解できない問題があれば、できるだけ早めに復習をしておきましょう。