「第６３４回　女子中の入試問題　数と計算 ２」

前回から２０２３年度に女子中で出された入試問題の中から、「数と計算」について考えています。

今回も前回に続いて「数と計算の一行問題」を取り扱っていきます。

１問目は「余り処理」の問題です。

【問題】７で割ると２余り、１１で割ると１余る３けたの整数のうち、最も小さい数と最も大きい数を答えなさい。

（普連土学園中学校　２０２３年　問題２－（１））

【考え方】

「余り処理」の問題は、条件を式に表すことが解き方の基本です。

□÷７＝★あまり２

□÷１１＝☆あまり１

「余りが等しい（余り共通）」問題でも「（割る数）－（余り）が等しい（不足共通）」問題でもありませんから、□にあてはまる最も小さい数を「書き出し」で調べます。

最も小さい数は２３で、その後７で割ると２余る数は７ずつ増え、１１で割ると１余る数は１１ずつ増えますから、２番目の数は７と１１の最小公倍数の７７大きい１００です。

よって、求める数は、「２３＋７７×◎」で表せます。

最も大きい数は９９９に最も近い３けたの数です。

２３＋７７×◎＝９９９

とすると

◎＝（９９９－２３）÷７７＝１２.６…

より、◎は１２以下です。

２３＋７７×１２＝９４７

答え　最も小さい数　１００、　最も大きい数　９４７

本問は、「余り処理」の３つのパターン（余り共通、不足共通、それ以外）の使い分けができるかを確認できる問題です。

基本レベルの問題ですから、もし正解できなかったときは、この単元をすぐに復習しましょう。

では、２問目です。

【問題】６０との最大公約数が１２で、２８との最小公倍数が２５２である２桁の整数を求めなさい。

（横浜雙葉中学校　２０２３年　問題１－（３））

【考え方】

最大公約数と最小公倍数に関する条件は「逆割り（すだれ算）」で整理できます。

「逆割り（上）」より■は５と互いに素（公約数が１だけ、もうそれ以上逆割りができない）な整数とわかります。

また、「逆割り（下）」で

☆×★＝２８

ですから、

◎＝２５２÷２８＝９

もわかります。

「逆割り（上）」より

□＝１２、２４、３６、４８、７２、８４、９６

となりますが、「逆割り（下）」より□は９の倍数（□＝９×★）ですから、

□＝３６または７２

です。

確認をします。

よって、□＝３６です。

答え　３６

本問は、最大公約数や最小公倍数を求めるときに使う「逆割り」の意味が理解できているか確認できる問題です。

２けたの１２の倍数は８個しかありませんので順に調べていっても構いませんが、できれば「９の倍数」という絞り込みをして解きましょう。

続けて、３問目です。

【問題】３つの整数２３４２、２８９４、３５６１を、１以外の整数（ ア ）で割ると余りがどれも（ イ ）になります。（ ア ）、（ イ ）にあてはまる数を答えなさい。

（フェリス女学院中学校　２０２３年　問題１－（３）　問題文一部変更）

【考え方】

「余り処理」の基本通り、条件を式に表します。

２３４２÷（ ア ）＝□あまり（ イ ）

２８９４÷（ ア ）＝■あまり（ イ ）

３５６１÷（ ア ）＝◎あまり（ イ ）

割り算の式をかけ算の式に直すことも、「余り処理」の基本です。

（ ア ）×□＋（ イ ）＝２３４２

（ ア ）×■＋（ イ ）＝２８９４

（ ア ）×◎＋（ イ ）＝３５６１

３つの式を線分図に表します。

「（ ア ）×□」は「（ ア ）の倍数」ことですから、線分図の差の５５２と６６７は、それぞれ（ ア ）の倍数です。

言い換えると、（ ア ）は５５２と６６７の公約数です。

５５２と６６７の最大公約数は２３ですから、（ ア ）は１または２３です。

しかし、問題文中に「１以外の整数（ ア ）」とありますので、（ ア ）は２３と決まります。

２３４２÷２３＝１０１あまり１９　→　（ イ ）＝１９

答え　ア　２３、　イ　１９

本問は「不明の同数余り」ともいわれる、「余り処理」の定番問題の１つです。

「割る数は差の公約数の中の数」を利用するパターン問題ですから、習い終えていたら必ず正解したい問題です。

では、今回の最後の問題です。

【問題】２の倍数の積２×４×６×８×　…　×９６×９８×１００を計算すると、初めて０でない数字が現れるのは一の位から数えて何けた目ですか。

（湘南白百合学園中学校　２０２３年　問題１－（３）　問題文一部変更）

【考え方】

「末尾の０」問題です。

末尾から連続する０の個数は、その整数を□×１０×１０×…×１０の形に表したときの「×１０」の個数と同じです。

１０＝２×５より「×２」１個と「×５」１個から「×１０」１個を作ることできます。

ですから、２×４×６×８×　…　×９６×９８×１００を素因数分解したときの「×２」の個数と「×５」の個数がわかると、「×１０」の個数も求められます。

はじめに、問題の式を変形します。

２×４×６×８×…×９６×９８×１００

＝（２×１）×（２×２）×（２×３）×　…　×（２×４８）×（２×４９）×（２×５０）

変形した式から、「×２」が「×５」よりも多くあるとわかりますので、「×１０」の個数は「×５」の個数と同じです。

さらに

（２×１）×（２×２）×（２×３）×　…　×（２×４８）×（２×４９）×（２×５０）

＝（２×２×２×　…　×２×２×２）×（１×２×３×　…　×４８×４９×５０）

と変形すると、（２×２×２×　…　×２×２×２）の中に「×５」はありませんから、（１×２×３×　…　×４８×４９×５０）の中の「×５」の個数を求めればよいことになります。

「×５」を含む整数は５の倍数です。

５の倍数は「×５」は１つ含み、そのうち２５の倍数は「×５」をさらにもう１つ含むので、「×５」を○で表すと

のようになり、１以上５０以下の整数の中に「×５」が全部で１２個あるとわかります。

このことは

のように計算で求めることもできます。

以上から、「×１０」が１２個あるとわかりましたので、問題の式の積に初めて０が出てくるのは一の位から数えて１３けた目です。

答え　１３けた目

本問は「末尾の０」の応用問題です。

末尾の０は「×１０」、つまり「×２×５」の個数と同じ、ということが理解できているかが確認できる問題です。

今回は、２０２３年度の女子中の入試で出された「数と計算の一行問題」を前回に引き続きご紹介しました。

「数と計算」の問題は、条件に適した解法の選択がポイントです。

家庭学習では、問題の条件をよく読み、条件にあった解法が選択できているかを確認していきましょう。