「第６３２回　共学中の入試問題　場合の数 ２」

前回から、近年の共学中入試で出された「場合の数」の問題について考えています。

今回取り扱うのは、大問形式の「場合の数」です。

さっそく１問目から見ていきましょう。

【問題】次の問いに答えなさい。

（１）下の図１で、６本の直線Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆは平行です。この６本の直線から２本の直線を選ぶとき、その選び方は全部で何通りありますか。

（２）下の図２で、６本の直線Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆは平行で、さらにこれらと交わる３本の直線Ｇ、Ｈ、Ｉも平行です。図２の中に平行四辺形は全部でいくつありますか。

（法政大学中学校　２０２３年　問題３　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

「組み合わせ」の問題です。

１本目の選び方は６通り、２本目の選び方は５通りありますから、

６通り×５通り＝３０通り

の組み合わせがあります。

その組のうち、例えば、

（１本目、２本目）＝（Ａ、Ｂ）、（Ｂ、Ａ）

の２つの組は、どちらも同じ直線の組ですから１通りとして数えることになります。

ですから、選び方は全部で

３０通り÷２＝１５通り

です。

答え　１５通り

（２）

平行四辺形は２組の平行な直線で囲まれた図形ですから、「Ａ～Ｆから選んだ２本の直線」と「Ｇ～Ｉから選んだ２本の直線」によって作られます。

Ａ～Ｆから選ぶ２本の直線は、（１）より１５通りあることがわかっています。

Ｇ～Ｉから２本の直線を選ぶことは、選ばない直線を１本決めることと同じですから、Ｇ、Ｈ、Ｉのいずれかを選ばない３通りです。

ですから平行四辺形は全部で

１５通り×３通り＝４５通り

あります。

答え　４５個

本問は、（１）が組み合わせの基本、（２）は四角形の個数の数え方の知識が確認できる問題です。

いずれも基本レベルですので、解けなかったり忘れていたりしたときは、すぐに復習をしておきましょう。

２問目は「点の移動と場合の数」の問題です。

【問題】次の図のようなすべての辺の長さが等しい三角すいＯＡＢＣがあります。点Ｐは三角すいの頂点のいずれかにあり、１秒ごとに隣り合う点に移動します。点Ｐが頂点Ｏから出発するとき、次の各問いに答えなさい。

（１）点Ｐが出発してから３秒後に点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｏにあるような移動の仕方はそれぞれ何通りですか。

（２）点Ｐが出発してから４秒後に点Ｏにあるような移動の仕方は何通りですか。

（３）点Ｐが出発してから５秒後に点Ｏにあるような移動の仕方は何通りですか。

（山手学院中学校　２０２３年　問題７）

【考え方】

（１）

はじめに、３秒後にＯにあるような移動の仕方を考えます。

３秒後にＯにあるためには、２秒後にＡまたはＢまたはＣにあることが必要です。

Ｏを出発して２秒後にＡにあるような移動の仕方は２通りあります。

同様に、Ｏを出発して２秒後にＢやＣにあるような移動の仕方もそれぞれ２通りありますから、３秒後にＯにあるような移動の仕方は全部で

２通り×３＝６通り

です。

次に、３秒後にＡにあるような移動の仕方を考えます。

３秒後にＡにあるためには、２秒後にＯまたはＢまたはＣにあることが必要です。

Ｏを出発して２秒後にＯにあるような移動の仕方は３通りあります。

Ｏを出発して２秒後にＢにあるような移動の仕方は２通りあります。

同様に、Ｏを出発して２秒後にＣにあるような移動の仕方も２通りありますから、３秒後にＯにあるような移動の仕方は全部で

３通り＋２通り×２＝７通り

です。

同様に、Ｏを出発して３秒後にＢまたはＣにあるような移動の仕方も、それぞれＡと同じく７通りあります。

答え　Ａ　７通り、　Ｂ　７通り、　Ｃ　７通り、　Ｏ　６通り

（２）

４秒後にＯにあるためには、３秒後にＡまたはＢまたはＣにあることが必要です。

ですから（１）の結果を利用すると、

７通り×３＝２１通り

とわかります。

答え　２１通り

（３）

５秒後にＯにあるためには、４秒後にＡまたはＢまたはＣにあることが必要です。

４秒後にＡにあるためには、３秒後にＯまたはＢまたはＣにあることが必要です。

ですから（１）の結果を利用すると、

６通り＋７通り×２＝２０通り

とわかります。

同様に、４秒後にＢまたはＣにあるような移動の仕方もそれぞれ２０通りあります。

よって、５秒後にＯにあるような移動の仕方は全部で

２０通り×３＝６０通り

です。

答え　６０通り

本問は、「１つ前の利用」という考え方を応用する難しい問題です。

Ｏが出発点なので、ＡとＢとＣが同じだけ場合の数があることも利用しましょう。

なお、次のように「ある点への行き方は隣り合う点からの場合の数の和（１・１解法）」を１秒ごとに書く解き方もあります。

最後は「すごろく」の問題です。

【問題】１から６までの目があるサイコロを使って下のような双六をします。

コマは最初スタートの位置にあり、１回サイコロを振るたびに出た目の数だけコマを進め、ゴールにちょうどついたとき【あがり】とします。ただし、コマがゴールにちょうど止まれずに越えてしまうときは、その振った回は考えずに振り直しをすることにします。例えば、

１回目　５の目　→　５□に進む

２回目　３の目　→　振り直し

再度２回目　１の目　→　ゴール□

この場合サイコロの目の出方は、１回目に５の目、２回目に１の目が出て【あがり】と考えます。

（１）サイコロを何回か振ったところ、コマが４□のマスに止まりました。このようなサイコロの目の出方は何通りありますか。ただし、４□のマスに止まって以降のことは考えないことにします。

（２）サイコロを何回か振ったところ、【あがり】となりました。このようなサイコロの目の出方は何通りありますか。

（３）双六を下のように、４□のマスを４.スタートに戻る（初めて止まったときのみ）□と作り変えました。

このとき、【あがり】までのサイコロの目の出方は何通りありますか。

（芝浦工業大学柏中学校　２０２３年　問題６）

【考え方】

（１）

出た目の数の和が４になる場合です。

振った回数が１回のとき　…　（４）の１通り

振った回数が２回のとき　…　（１、３）、（２、２）、（３、１）の３通り

振った回数が３回のとき　…　（１、１、２）、（１、２、１）、（２、１、１）の３通り

振った回数が４回のとき　…　（１、１、１、１）の１通り

１＋３＋３＋１＝８（通り）

答え　８通り

（別解）

次のように４を○○○○で表し、切れ目∧で切るまたは切らないを選びます。

○∧○∧○∧○

例えば、左から１つ目の∧だけで切る（○∧○○○）と、それは「１回目の目が１、２回目の目が３」を表します。

３つの∧について「切る」「切らない」の選び方（＝目の出方）は

２通り×２通り×２通り＝８通り

あります。

（２）

（１）の別解の考え方を利用します。

出た目の数の和が６になる場合ですから、

○∧○∧○∧○∧○∧○

を用いて考えることができます。

∧は５つありますから、選び方は

２通り×２通り×２通り×２通り×２通り＝３２通り

あります。

答え　３２通り

（３）

場合分けをします。

４.スタートに戻る（初めて止まったときのみ）□（以下★）に止まるとき

（１）より★に止まるような目の出方は８通りあります。

ですから★に止まった後、スタートに戻ってゴールするような目の出方は

８通り×３２通り＝２５６通り

です。

★に止まらないとき

もとの双六で考えます。

必ず４□に止まるような目の出方は８通りあり、４□から【あがり】までの目の出方は「１＋１」または「２」の２通りありますから、

８通り×２通り＝１６通り

の【あがり】方があります。

（２）より【あがり】方は全部で３２通りとわかっていますから、★に止まらない【あがり】方は

３２通り－１６通り＝１６通り

です。

よって、作り変えた双六の【あがり】方は全部で

２５６通り＋１６通り＝２７２通り

あります。

答え　２７２通り

本問は、場合分けがポイントになっています。

また、（１）、（２）は書き出しでも答えが出せますが、（３）は（１）、（２）の誘導の利用が求められる問題でした。

今回は、２０２３年度の共学中の入試で出された大問形式の場合の数をご紹介しました。

難しい問題も含まれていますが、場合の数をある程度まで習い終えたら、計算方法や場合分けなどの練習としてチャレンジしてみましょう。