第184回　「灘中　2014年　1日目」3






「灘中　2014年　1日目」の問題研究の第3回です。


今回は問題用紙の2枚目からです。
（大問7は第166回のブログでご紹介しています。）


平面図形の問題は大問6からでした。


大問6は平易、大問7は難問でした。
順序からいくと次は解ける問題のはずですが…。





大問8
右の図の四角形ABCDは、ADとBCが平行な台形です。対角線AC、BDが交わる点をEとおき、辺BC上に点Fをとります。三角形AFEの面積が42cm2、三角形DECの面積が108cm2のとき、BFの長さとFCの長さの比を最も簡単な整数の比で表すと、(BFの長さ)：(FCの長さ)＝　：　になります。





問題文中には面積の条件しかありません。
それを図に表してみましょう。





この図を見ると、「面積比　→　辺の比」という解き方になりそうです。


面積比から辺の比を導き出すための条件は、

①　高さが等しい（または底辺が共通））
②　隣辺比（1組の角が等しい）
③　相似比（2組の角が等しい）

のいずれかです。


問題図の色のついた三角形を見比べると、
②、③は可能性が低そうですから、①に狙いをつけてみましょう。


まだ使っていない大ヒントに気がつくと…


そうです！　四角形ABCDは台形でした!!


「台形」と「面積」を結びつけるとなると、「台形ペケポン」です。





上の図で、
「水色の三角形の面積は等しい」「白い三角形は相似」
という関係です。


いまは高さが等しい（または底辺が共通）を狙っていますから…





この図を見ると「底辺AEが共通」になっています！


見慣れた向きの方がいろいろなことに気づきいやすいので、
図を回転させてみます。





三角形AFE（赤）；三角形ABE（青）＝42cm2：108cm2＝7：18　ですから、
高さの比も7：18＝FC：BC　です。　→　BF：FC＝11：7




面積比から辺の長さの比を求める条件が3パターンあることが整理できていれば、
方針が立ちやすい問題でしたから、正解したい問題です。


平面図形の問題の難易度を見てみると、
大問6…A、大問7…C、大問8…B　ですから、
2問正解しておきたいところです。






ここから先は立体図形です。




大問9
右の図のような、斜線をつけた面とそれに向かい合う面が台形で、他の面が長方形である水そうが、水平な床の上に置かれています。この水そうを空にして、毎秒一定の量の水を注いでいきます。水を注ぎ始めてから４分後の水面の高さは20cm、また、水を注ぎ始めてから6分18秒後の水面の高さは30cmでした。水面の高さが60cmになるのは、水を注ぎ始めてから　分　後です。





水の問題は「正面から見た図を書く」のが基本です。





前から見た図は台形です。

台形で使う補助線は、

①　平行線（平行四辺形と三角形に分割）
②　垂線（長方形と直角三角形に分割）
③　対角線（等高三角形に分割、台形ペケポン）
④　延長線（相似形の完成）

です。


上の図には平行線がいくつもありますから、
「平行　→　相似」が有力そうです。





図から、
④＋2□＝4分間でたまる水
⑤＋1□＝2分間18秒でたまる水
が、わかります。


あとは消去算の計算だけです。


④＋2□＝4分間でたまる水
⑩＋2□＝4分間36秒でたまる水
⑥　　　＝36秒間でたまる水
→　27○の水がたまるのに2分42秒かかります。


また、1□＝1分48秒でたまる水　なので、
3□の水がたまるのに5分24秒かかります。


ですから、6分18秒＋2分42秒＋5分24秒＝14分24秒後が答えです。


過去問にも類題がありますから、この問題も正解しておきたい問題です。


灘中の図形問題は、
発想力によって解く問題よりも、
定番のどの解き方を、どのように組み合わせて解くかを問う問題の方が
多いように思います。


「当たり前のことが当たり前にできる」


灘中1日目の図形問題は、そんな基準で作問されている感じがします。