「第６２０回　共学中の入試問題　平面図形 ２」

前回から近年の共学中入試で出された「平面図形」の問題について考えています。

今回は「円の一行問題」を見ていきます。

なお、円周率は断りのない限り３.１４です。

では、１問目です。

【問題】下の図のように、半径４㎝の円が３つあります。真ん中の円の中心で左右の２つの円が１点で交わっています。このとき、斜線部分の周の長さを求めなさい。

（芝浦工業大学附属中学校　２０２２年　問題２－（４））

【考え方】

円問題は、補助線として

① 円の中心と中心を結ぶ

② 円の中心と円周上の点を結ぶ

ことが基本の解き方です。

４つの赤色三角形の各辺はすべて円の半径ですから、どれも合同な正三角形です。

赤色の曲線は半径４㎝、中心角６０度のおうぎ形の弧です。

４㎝×２×３.１４×（６０度/３６０度）×６＝２５.１２㎝

答え　２５.１２㎝

本問は円問題の補助線の基本が確認できる問題です。

続けて、２問目です。

【問題】下の図で、２つの正方形の１辺の長さは２㎝です。また、それぞれの正方形の外側に円がぴったりとくっついています。このとき、２つの円で囲まれたかげの部分の面積は何㎠ですか。

（中央大学附属横浜中学校　２０２２年　問題１－（９）　問題文一部変更）

【考え方】

前問と同様に、補助線を引いて考えます。

正方形は合同な直角二等辺三角形に分けられていますので、かげの部分を２つに分けた図形（弓形）も合同です。

弓形の面積は

① おうぎ形－三角形

② 移動→合体

で求めることができます。

今回は、「移動→合体」を使ってみます。

円の半径を□㎝として、正方形の面積を２通りの計算式で表します。

（□㎝×２）×（□㎝×２）÷２＝２㎝×２㎝

□㎝×□㎝＝２㎠　…　ア

次にかげの部分の面積を図形式で考えます。

□㎝×□㎝×３.１４÷２－２㎝×２㎝÷２＝かげの部分の面積

この式にアを代入します。

２㎠×３.１４÷２－２㎠＝１.１４㎠

答え　１.１４㎠

本問は、半径のわからない円や弓形の面積の求め方が確認できる問題です。

引き続き３問目です。

【問題】下の図のように、１辺の長さが８㎝の正方形の中に４分の１の円が２つ、三角形が１つあります。アの部分の面積から、イの部分の面積とウの部分の面積を引くと何㎠ですか。

（明治大学付属明治中学校　２０２２年　問題１－（５）　問題文一部変更）

【考え方】

面積を求める公式のない図形の和や差を求めるときは、

① 共通部分をつけたして面積を求める公式のある図形にする

② 移動→合体させて面積を求める公式のある図形にする

ことが基本の解き方です。

ここでは①の「つけたし」が利用できます。

６㎝×６㎝×３.１４÷４

＝９×３.１４（㎠）　…　ア＋★＋☆

８㎝×８㎝－８㎝×８㎝×３.１４÷４＋７㎝×２㎝÷２

＝７１－１６×３.１４（㎠）　…　イ＋ウ＋★＋☆

差＝（９＋１６）×３.１４－７１＝７.５（㎠）

答え　７.５㎠

本問は面積の公式のない図形の解き方が確認できる問題です。

では、最後の問題です。

【問題】点Ｏを中心とする半径８㎝の円があります。図の斜線部分の面積は何㎠ですか。ただし、円周率は３.１４とします。

（中央大学附属中学校　２０２２年　問題１－（６））

【考え方】

円の問題の補助線は「中心と結ぶ」がほとんどですが、この問題は「対称図形にする」という特別な解き方をします。

（★＋☆）×４＋４㎝×４㎝×４＝円

（★＋☆）×４

＝８㎝×８㎝×３.１４－４㎝×４㎝×４

＝１３６.９６㎠

斜線部分＝（★＋☆）×２

＝１３６.９６㎠÷２＝６８.４８㎠

答え　６８.４８㎠

本問は特別な解き方をする円問題ですが、定番の問題でもあります。

今回は、近年の共学中入試で出された「円の一行問題」をご紹介しました。

はじめの２問は円問題の基本の解き方、３問目は「つけたし」解法、最後の問題は特別な解き方の問題ですが、いずれも定番問題です。

この範囲まで学習が進んでいましたら、解き方の基本が身についているかをこれらの問題でチェックしてみましょう。