「第６０７回　共学中の入試問題　比と割合 ２」

前回から２０２２年度の共学中入試で出された「比と割合」の問題を見ています。

今回は、「比例式の利用」と「食塩水の濃さの一行問題」を取り扱っていきます。

それでは、１問目から見ていきましょう。

【問題】明子さんと弟はお年玉をもらいました。明子さんのお年玉の２／５と弟のお年玉の３／４の金額の比は４：５です。明子さんがお年玉の半分を使い、弟が３０００円を使ったところ、２人の残金は同じになりました。明子さんがもらったお年玉は何円ですか。

（青山学院中等部　２０２２年　問題４　問題文一部変更）

【考え方】

１つめの条件は、比例式に表すことができます。

（明子さんのお年玉）×２／５：（弟のお年玉）×３／４＝４：５

「内項の積＝外項の積」ですから、

（明子さんのお年玉）×２／５×５＝（弟のお年玉）×３／４×４

（明子さんのお年玉）×２＝（弟のお年玉）×３

（明子さんのお年玉）：（弟のお年玉）＝３：２

です。

明子さんはお年玉の半分を使うので、使う前のお年玉の金額を３と２の最小公倍数の⑥円とすると、弟がもらったお年玉は④円です。

これを用いて、２つめの条件を式に表します。

⑥－③＝④－３０００円　→　①＝３０００円

⑥＝１８０００円

答え　１８０００円

本問は、比例式の計算が確認できる問題です。

２問目からは、食塩水の濃さに関する問題です。

【問題】濃度が２％の食塩水１００ｇがあります。この食塩水を熱して３５ｇの水を蒸発させたあと、食塩５ｇを入れてかき混ぜました。食塩水の濃度は何％になるか求めなさい。

（広尾学園中学校　２０２２年　問題１－（３））

【考え方】

「食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ」が、食塩水の問題を解く基本です。

１００ｇ×０.０２＝２ｇ　…　はじめの食塩水に溶けている食塩の重さ

１００ｇ－３５ｇ＋５ｇ＝７０ｇ　…　あとの食塩水の重さ

２ｇ＋５ｇ＝７ｇ　…　あとの食塩水に溶けている食塩の重さ

７ｇ÷７０ｇ×１００＝１０％

答え　１０％

本問は、食塩水の問題の基本が確認できる問題です。

次のような「塩分数（分母：食塩水の重さ　分子：食塩の重さ）」に表して解いてもＯＫです。

食塩水の問題を続けます。

【問題】２０％の食塩水９０ｇに食塩を入れてよくかき混ぜると、２５％の食塩水になります。加える食塩水の重さを求めなさい。

（青陵中学校　２０２２年　問題２－（２）　問題文一部変更）

【考え方】

問題の条件を「塩分数」で表します。

分母と分子に同じ量（□）をたしていますから、分母と分子の差は一定です。

９０ｇ－１８ｇ＝④－①　→　①＝２４ｇ

２４ｇ－１８ｇ＝６ｇ

答え　６ｇ

本問は、「同じ量をたしても（引いても）差は一定」という倍数算の考え方を用いましたが、次のような面積図解法や天びん法でも解くことができる問題です。

３つの方法のうちの１つ以上の解き方がマスターできていることを確認しましょう。

では、４問目です。

【問題】太郎君は１０％の食塩水Ａと３％の食塩水Ｂをあわせて５００ｇの食塩水をつくる予定でしたが、ＡとＢの食塩水の量を逆にしてしまったため、予定よりも４.２％うすい食塩水ができてしまいました。もともとＡを何ｇ混ぜる予定でしたか。

（中央大学附属中学校　２０２２年　問題１－（４）　問題文一部変更）

【考え方】

食塩水ＡとＢの重さがわかりませんので、天びん法を使って問題の条件を整理します。

このとき、混ぜる食塩水の濃さは変わりませんから、長さが等しい天びんを上下に並べてかきくことがポイントです。

図より、

☆％＋★％＝７％

☆％－★％＝４.２％

とわかります。

（７＋４.２）÷２＝５.６％　…　☆％

５.６％－４.２％＝１.４％　…　★％

うでの長さの比が

☆％：★％＝５.６％：１.４％＝４：１

ですから、重さの比は①：④です。

①＋④＝５００ｇ　→　④＝４００ｇ

答え　４００ｇ

（別解）

本問を面積図で表す場合の一例は次の通りです。

☆と★の差が◎であることに着目すると、

５００ｇ×０.０４２＝（アｇ－イｇ）×０.０７

アｇ－イｇ＝３００ｇ

以下は、和差算です。

（５００ｇ＋３００ｇ）÷２＝４００ｇ

本問は、「塩分数」が利用しにくいときに天びん法や面積図に解き方を切り替えることができるかを確認できる問題です。

最後に、もう１問見ておきます。

【問題】容器の中に１６％の食塩水が２００ｇあります。この容器から５０ｇの食塩水を捨て、同じ量の水を入れてよくかき混ぜます。その後もう一度、５０ｇの食塩水を捨て、同じ量の水を入れてよくかき混ぜました。何％の食塩水ができますか。

（淑徳中学校　２０２２年　問題２－（３））

【考え方】

食塩水の重さと濃さがわかっていますから、順に計算していけばＯＫです。

答え　９％

（別解）

本問は、「水との等量交換」問題です。

このとき、食塩水と水を同じ量入れかえた後の濃さは、次のように計算できます。

この式を利用すると本問は、

１６％×（１－５０／２００）×（１－５０／２００）＝９％

のようにして求めることができます。

今回は、2022年度の共学中の入試で出された「比例式の利用」と「食塩水の濃さの一行問題」をご紹介しました。

比例式の計算や「塩分数」の計算、面積図や天びん法などの整理方法は、この単元の基本となる部分です。

はじめにこれらをきちんとマスターし、その上で５問目に見たような「条件に応じた特別な解き方」を身につけていくようにしましょう。