「第６０１回　共学中の入試問題　数と計算 ４」

前回は、２０２２年度に出された共学中入試の「数と計算」の中から大問形式の「約数と倍数」の問題を見ました。

今回は「余りの処理」の一行問題について考えていきます。

では、１問目です。

【問題】４５をある整数で割った余りは１１です。そのような整数をすべて求めなさい。

（東邦大学付属東邦中学校　２０２２年　問題２－（１））

【考え方】

「余り処理」は、「問題文を式に表す」が基本の解き方です。

４５÷□＝○余り１１

「割る数＞余り」ですから、□は１２以上の整数と分かります。

さらに

４５－１１＝３４

より、

３４÷□＝○

と表せますので、□は３４の約数です。

３４の約数は、１、２、１７、３４の４個で、そのうち１２以上の数は１７と３４です。

答え　１７、３４

本問は、余り処理の基本が確認できる問題です。

「割る数＞余り」から求める数の範囲を絞り込む点が大切なポイントです。

続けて２問目を見ていきます

【問題】６で割っても、１６で割っても２余る整数のうち、２より大きい整数について考えます。

① 最も小さい整数はいくつですか。

② １０００に最も近い整数はいくつですか。

（神奈川大学附属中学校　２０２２年　問題２－（１））

【考え方】

① 問題文を式に表すと

□÷６＝○余り２

□÷１６＝●余り２

となります。

「余り処理」のもうひとつの基本は、「わり算の式を検算の式に直す」です。

□＝６×○＋２

□＝１６×●＋２

この２つの式は、

□＝６の倍数＋２＝１６の倍数＋２

と読みかえることができます。

上の線分図より、

□＝（６と１６の公倍数）＋２

＝（６と１６の最小公倍数）×△＋２

とわかります。

６と１６の最小公倍数は４８なので、２より大きい最小の整数は

４８×１＋２＝５０

です。

答え　５０

② ①より

□＝４８×△＋２

ですから、

４８×△＋２＝１０００

とすると、

（１０００－２）÷４８＝２０余り３８

より、△は２０または２１です。

４８×２０＋２＝９６２

４８×２１＋２＝１０１０

なので、１０００に最も近い整数は１０１０です。

答え　１０１０

本問は「余り処理」の中の「余り共通」と言われる問題です。

上記のような考え方が身についていれば、「余り共通→割る数の最小公倍数×□＋余り」という求め方ですぐに答えを導き出すこともできると思います。

②は次のような線分図を利用すると、

１０００＋（４８－３８）＝１０１０

のように求めることもできます。

では、３問目です。

【問題】１８で割ると割り切れて、８１で割ると商と余りが等しくなる数があります。このような数のうち最大の数を求めなさい。

（青山学院中等部　２０２２年　問題６　問題文一部変更）

【考え方】

これまでと同じように、問題文を式に表します。

□÷１８＝○

□÷８１＝●あまり●

１つめの式から□は１８の倍数であることが分かり、２つめの式から●は８０以下の整数と分かります。

また、２つめの式を検算の式に直すと、

□＝８１×●＋●

＝８１×●＋１×●

＝８２×●

となりますので、□は

８２×８０＝６５６０

以下の８２の倍数であることも分かります。

条件を整理します。

・□は１８の倍数

・□は８２の倍数

・□は６５６０以下

１８と８２の最小公倍数は７３８ですから、

７３８×△≦６５６０

です。

６５６０÷７３８＝８余り６５６

より、最大の数は

７３８×８＝５９０４

です。

答え　５９０４

本問は、「８１で割った商と余りが等しい」という条件を、分配のきまりを使って「８２の倍数」に読みかえるという解き方が確認できる問題です。

最後に、もう１問見ておきましょう。

【問題】ある数を３で割ると割り切れ、その商をさらに３で割ると２余ります。このような数のうち、１００に一番近いものは何ですか。

（中央大学付属横浜中学校　２０２２年　問題１－（７）　問題文一部変更）

【考え方】

問題文を式に表します。

□÷３＝○

○÷３＝●余り２

１つめの式から□は３の倍数と分かり、２つめの式を検算の式にすると

○＝３×●＋２

＝３の倍数＋２

と分かります。

○は小さい順に２、５、８、１１、…ですから、３３に近い○は３２と３５です。

よって、□は

３２×３＝９６

または

３５×３＝１０５

なので、１００に最も近い数は９６と分かります。

答え　９６

本問は上記の他に、１００に近い３の倍数について、３で割った数をさらに３で割って２余るかどうかを調べていくという解き方もありますし、

□＝３×（３×●＋２）

＝９×●＋６

とし、

（１００－６）÷９＝１０余り４

から、

●＝１０または１１

として求めていく方法もあります。

今回は２０２２年度の共学中の入試で出された「数と計算」の中から、「余り処理」の一行問題をご紹介しました。

「約数と倍数」と同じく「余り処理」の問題も中学入試ではよく出されますので、この単元を学び終えていましたら、定着度をチェックしてみましょう。