「第５９５回　女子中の入試問題　場合の数 １」

今回から、２０２２年度の女子中の入試で出された「場合の数」の問題を取り扱います。

その１回目は「三角形作り」と「数作り」について見てきます。

では、1問目です。

【問題】長さが２㎝、３㎝、４㎝。５㎝の棒が１本ずつあります。この中から３本を選んで三角形を作るとき、棒の選び方は何通りありますか。

（晃華学園中学校　２０２２年　問題１－（３））

【考え方】

「三角形作り」の問題です。

この問題は三角形の３つの辺の長さに「最も長い辺＜残りの２辺の長さの和」という関係があることを表に整理して解きます。

はじめに最も長い辺（◎）に使う棒を決め、その後で残りの２辺（○）に使う棒を決めます。

答え　３通り

本問は、「三角形の３つの辺の長さの関係」という知識と「表に整理して解く」という整理方法が確認できる問題です。

なお、表の代わりに樹形図や（５、４、３）のように（　）を用いて整理してもＯＫです。

２問目は「数作り」の問題です。

【問題】０、２、３、４から３種類の数字を選んで３けたの偶数をつくると、全部で何通りできますか。

（東洋英和女学院中学部　２０２２年　問題２－（４）問題文一部変更）

【考え方】

「数作り」の問題は、原則として「けた数→その他の条件」の順に考えていきます。

本問はけた数が「３けた」とありますので、まず、

のようなマス目を準備します。

次に「偶数」という条件から、一の位に入る数字が「０」、「２」、「４」と決まります。

この３つの場合について、「百の位→十の位」の順にあてはまる数を考えていきます。

３×２＝６（通り）　…　一の位が０のとき

２×２＝４（通り）　…　一の位が２のとき

２×２＝４（通り）　…　一の位が４のとき

６＋４＋４＝１４（通り）

答え　１４通り

本問は、「場合の数」の基本である「場合分け」が確認できる問題です。

前問と同様に樹形図や順に書き出す解き方でもＯＫですが、もし習い終えていたら解答例のような整理方法を使うようにしましょう。

なお、作ることのできる３桁の整数が全部で

３×３×２＝１８（通り）

あり、そのうち奇数は２０３、２４３、４０３、４２３の４通りなので、偶数は

１８－４＝１４（通り）

のように、「余事象」の考え方を用いてもＯＫです。

３問目は大問形式の「数作り」の問題です。

【問題】Ａ、Ｂ、Ｃの３つの箱に、整数のかかれたカードが以下のように入っています

箱Ａ：１から５が書かれたカードが１枚ずつ、計５枚

箱Ｂ：１、３、５が書かれたカードが１枚ずつ、計３枚

箱Ｃ：０から９の書かれたカードが１枚ずつ、計１０枚

３つの箱からカードを１枚ずつ取り出して、Ａから取り出したカードの数を百の位、Ｂから取り出したカードの数を十の位、Ｃから取り出したカードの数を一の位とした３桁の整数Ｘをつくります。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）Ｘが４の倍数となる取り出し方は何通りありますか。

（２）Ｘが３の倍数となる取り出し方は何通りありますか。なお、この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。

（３）Ｘが１２の倍数となる取り出し方は何通りありますか。

（洗足学園中学校　２０２２年　問題４）

【考え方】

（１）

Ｘが「３桁の整数」なので、マス目を３つ用意します。

次に「４の倍数」という条件がありますので、下２桁の数を決めていきます。

最後に百の位の数を決めますが、４の倍数は下２桁が４の倍数であれば百の位の数は何でもよいので、上記の６つの場合について、それぞれ１から５までの５通りがあります。

５×６＝３０（通り）

答え　３０通り

（２）

３の倍数は各位の数の和が３の倍数になることを利用します。

はじめにカードの枚数が少ない箱Ａ、Ｂに着目します。

上２桁の数の和を表に整理すると次のようになります。

このままでもよいのですが、「３で割った余り」の表にしておくとさらに考えやすくなります。

上２桁の数の和を３で割った余りが１のとき、３で割った余りが２の数が一の位であれば、整数Ｘの各位の数の和を３で割った余りは

１＋２＝３

より３で割った余りが０となりますから、Ｘは３の倍数になります。

表より、上２桁の数の和を３で割った余りが１になるのは

２通り（赤字）×２＋１通り（黒字）＝５通り

あり、このとき一の位（３で割った余りが２）は２、５、８の３通りがありますので、

５×３＝１５（通り）

です。

同様に、上２桁の数の和を３で割った余りが２のときが５通り、一の位（３で割った余りが１）は１、４、７の３通りですから、

５×３＝１５（通り）

です。

また、上２桁の数の和を３で割った余りが０のときが５通り、一の位（３で割った余りが０）は０、３、６、９の４通りですから、

５×４＝２０（通り）

です。

１５＋１５＋２０＝５０（通り）

答え　５０通り

（３）

１２＝３×４なので、１２の倍数は３の倍数と４の倍数の両方の条件を満たす必要があります。

（１）、（２）より、個数の少ない４の倍数に着目します。

（１）で場合分けした６通りについて、下２桁の数の和を見ていきます。

下２桁の数の和を３で割った余りが１のときは、３で割った余りが２の数が百の位になりますので、百の位は２か５の２通りです。

２×２＝４（通り）

下２桁の数の和を３で割った余りが２のときは、３で割った余りが１の数が百の位になりますので、百の位は１か４の２通りです。

２×２＝４（通り）

下２桁の数の和を３で割った余りが０のときは、３で割った余りが０の数が百の位になりますので、百の位は３の１通りです。

１×２＝２（通り）

４＋４＋２＝１０（通り）

答え　１０通り

本問は倍数の条件と場合の数が融合した問題で、倍数に関する知識と順序よく整理する力が確認できます。

解答例では「３で割った余り」に着目しましたが、これを用いずに解いても構わないと思います。

今回は、２０２２年度の女子中の入試で出された「場合の数」の中から、「三角形作り」と「数作り」をご紹介しました。

いずれも入試でよく出される問題の１つですから、この単元を習い終えていたらどの程度までマスターできているかをチェックしてみましょう。