「第５８７回　女子中の入試問題　立体図形 ６」

２０２２年度に実施された女子中の入試問題の中から「立体図形」の問題を取り扱っています。

今回は前回の続きとして、「水問題」の中からグラフに関する問題を見ていきます。

【問題】下の＜図１＞のように大きい直方体から小さい直方体を切り取った形の水そうに、底面が正方形の鉄の四角柱が立ててあります。この水そうの排水せんを閉めた状態で、毎分３Ｌの割合で水を入れました。＜図２＞は、水を入れ始めてからの時間と水そうが満水になるまでの水の深さの関係を表したグラフです。

このとき次の問いに答えなさい。

（１）＜図１＞のア、イ、ウの長さはそれぞれ何㎝ですか。

（２）水の深さが７０㎝となったのは、水を入れ始めてから何分何秒後ですか。途中の式や考え方も書きなさい。

次に、＜図３＞のように四角柱を横にして水そうを満水にしてから、一定の割合で排水せんから水を抜いたところ、水を抜き始めてから８７分で水そうが空になりました。

（３）①毎分何Ｌの割合で水を抜きましたか。

②水を抜き始めてからの時間と水の深さの関係を表したグラフを、解答らんに記入しなさい。

（横浜雙葉中学校　２０２２年　問題２　問題文一部変更）

【考え方】

水のグラフ問題では、水そうを正面から見た図にグラフから読み取れることを書きこむこと、水そうを正面から見た図の横の長さは底面積とすることが基本の解き方です。

グラフが変化するとき（折れ曲がるとき）は、入れる水の割合や水が入る部分の底面積が変化したときですから、本問では２８分後に鉄の四角柱がすべて水中に沈み、３８分後に水そうの底面積が小さくなる部分に水面がきたことが読み取れます。

Ｂの部分に着目します。

一定の時間に入れる水の量×時間＝水そうの底面積×水の高さですから、

３０００㎤/分×１０分＝６０㎝×ア×（５０㎝－４０㎝）

ア＝５０㎝

とわかります。

次にＡの部分に着目すると、

３０００㎤/分×２８分＝（６０㎝×５０㎝－イ×イ）×４０㎝

イ×イ＝９００㎠

イ＝３０㎝

とわかります。

Ｃの部分に着目すると、

３０００㎤/分×２０分＝ウ×５０㎝×（８０㎝－５０㎝）

ウ＝４０㎝

とわかります。

答え　ア　５０㎝、イ　３０㎝、ウ　４０㎝

（２）

グラフを利用します。

水の深さが５０㎝から８０㎝まで３０㎝増えるのに、３８分から５８分まで２０分間かかっていますから、Ｃの部分では水の深さは１分間に

３０㎝÷２０分間＝１.５㎝

増えているとわかります。

３８分後＋（７０㎝－５０㎝）÷１.５㎝/分＝５１ １／３分後＝５１分２０秒後

答え　５１分２０秒後

（別解１）

水の体積から求めることもできます。

Ｃの部分の底面積は

４０㎝×５０㎝＝２０００㎠

ですから、

２０００㎠×（７０㎝－５０㎝）÷３０００㎤/分＝１３ １／３分＝１３分２０秒

３８分後＋１３分２０秒＝５１分２０秒後

（別解２）

グラフの中にある三角形の相似を利用することもできます。

□：２０＝２０：３０

□＝１３ １／３（分）

３８分後＋１３分２０秒＝５１分２０秒後

（３）①

＜図２＞より、水そうに入っている水の体積は

３Ｌ/分×５８分＝１７４Ｌ

とわかります。

この水を空にするのに８７分かかりましたから、

１７４Ｌ÷８７分＝２Ｌ／分

が答えです。

答え　毎分２Ｌ

（別解）

毎分３Ｌの割合で水を入れると５８分かかりますので、時間の比は

５８分：８７分＝２：３

です。

水の体積は同じですから、水を入れる割合と水を抜く割合は逆比の３：２です。

３Ｌ：□Ｌ＝３：２

□＝２（Ｌ）

（３）②

Ｃ→Ｂ→Ａの順に見ていきます。

５０㎝×４０㎝×３０㎝＝６００００㎤＝６０Ｌ　…　Ｃの体積

６０Ｌ÷２Ｌ/分＝３０分　…　Ｃの水を抜く時間

５０㎝×６０㎝×（５０㎝－３０㎝）＝６００００㎤＝６０Ｌ　…　Ｂの体積

３０分＋６０Ｌ÷２Ｌ/分＝６０分　…　ＣとＢの水を抜く時間

（８７分後に空になったと問題にありますから、Ａの部分は計算しなくてOKです。）

答え　

本問は、グラフの読み取り方、正面から見た図の使い方、一定の時間に入れる水の量×時間＝水そうの底面積×水の高さなど、「水とグラフ」の問題を解くときの重要事項が確認できる問題でした。

では、もう１問です。

【問題】下の図１のように、横の長さ１０８㎝、縦の長さ５０㎝、高さ（　①　）㎝の直方体の形をした水そうがあります。水そうは、側面と平行な正方形と長方形のしきり板によって３つの部分ア○、イ○、ウ○に分かれています。この水そうのア○の部分に毎分３０Ｌ、ウ○の部分に毎分２４Ｌの割合で同時に水を入れたところ、６分後に満水になりました。水そうの辺ＡＢ、ＣＤには目盛りがついており、図２は、水を入れ始めてからの時間と、それぞれの目盛りで読み取った水位の差の関係をグラフに表したものです。このとき、次の問いに答えなさい。ただし、しきり板の厚さは考えないものとします。また、図は正確なものとは限りません。

（１）（　①　）にあてはまる数を求めなさい。

（２）図１の（　②　）、（　③　）にあてはまる数を求めなさい。

（３）図２の（　④　）にあてはまる時間は何分何秒ですか。

（鎌倉女学院中学校　２０２２年　問題５　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

「６分後に満水」を利用します。

１０８㎝×５０㎝×（　①　）㎝＝（３００００㎤/分＋２４０００㎤/分）×６分

（　①　）＝６０（㎝）

答え　６０（㎝）

（２）

２分１５秒後にグラフが変化していることから、２分１５秒後に、「先にア○に水が５０㎝入った」または「先にウ○に水が４５㎝入った」の２つの場合が考えられます。

２分１５秒後に先にア○に水が５０㎝入った場合、下の図のように□分後にア○とウ○水位の差が５㎝になるので、図２のグラフのようにはなりません。

よって、２分１５秒後に先にウ○に水が４５㎝入ったとわかります。

（　②　）㎝×５０㎝×（４５㎝－２０㎝）＝３００００㎤/分×９／４分

（　②　）＝５４（㎝）

（　③　）㎝×５０㎝×４５㎝＝２４０００㎤/分×９／４分

（　③　）＝２４（㎝）

答え　②　５４（㎝）、③　２４（㎝）

（３）

（２）より、（　④　）分後には次のようになっていることがわかります。

５４㎝×５０㎝×４５㎝＝３００００㎤/分×（　④　）分

（　④　）＝４.０５（分）→４分３秒

答え　４分３秒

本問は、「水位の差」のグラフを正確に読み取ることがポイントになっている難しい問題です。

（２）のように２つの場合があることで悩んでしまうようでしたら、上記の解答例のように順番に試してみるとよいでしょう。

今回は、２０２２年度の女子中で出された「水とグラフ」の問題について考えました。

「立体図形」がテーマの問題は今回を最後とし、次回からは「文章題」の問題をご紹介していきたいと思います。