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第584回　女子中の入試問題　立体図形 3

図形の練習問題｜ 2022年07月09日18時00分

「第５８４回　女子中の入試問題　立体図形３」

前回から、近年の女子中の入試で出された「立体図形」の問題について考えています。

今回は、前回の最終問題の続きとなる「回転体」について見ていきます。

１問目は基本レベルの問題です。

【問題】下の図の容器は、底面積が等しい円柱と円すいを合わせた形をしています。この容器に水を毎秒１２㎤で注いだところ、２分３７秒でいっぱいになりました。このとき、円すいの高さを求めなさい。ただし、円周率は３.１４とします。

（晃華学園中学校　２０２１年　問題１－（６））

【考え方】

２分３７秒＝１５７秒

１２㎤/秒×１５７秒＝１８８４㎤　…　注いだ水の体積＝容器の容積

１０㎝×１０㎝×３.１４×５㎝＝１５７０㎤　…　円柱の体積

１８８４㎤－１５７０㎤＝３１４㎤　…　円すいの体積

１０㎝×１０㎝×３.１４×□㎝÷３＝３１４㎤

□㎝＝３１４㎤×３÷３.１４÷１０㎝÷１０㎝＝３㎝

答え　３㎝

本問は、円すいの体積の公式が確認できる基本問題でした。

問題によっては「円すいの体積は（底面積）×（高さ）÷３で求めることができます」と書かれていないこともありますので、公式は覚えておきましょう。

では､２問目です。

【問題】下の図の台形ＡＢＣＤを、辺ＣＤを軸として１回転させてできる立体について次の問いに答えなさい。ただし、円周率は３.１４として計算しなさい。

（１）この立体の体積を、式を書いて求めなさい。

（２）下の図はこの立体の展開図です。（図は正確ではありません）（ア）～（オ）に当てはまる長さ、角度を求めなさい。また、この立体の表面積を求めなさい。

（湘南白百合学園中学校　２０２１年　問題５　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

この台形を回転させてできる立体の見取り図は、回転させる台形を回転の軸について線対称な位置にもかき、対応する点をなめらかに結んで作ります。

図より、求める立体は円すい台とわかります。

円すい台の体積は円すい（大）から円すい（小）を引いて求めます。

そのために、台形の辺を延長して相似な三角形を作ります。

三角形ＥＡＤと三角形ＥＢＣの相似比は、

ＡＤ：ＢＣ＝３㎝：６㎝＝１：２

です。

ＥＤ：ＥＣ＝１：２

ＥＤ＝４㎝　…　□㎝

よって、大小の円すいの長さは次の通りです。

６㎝×６㎝×３.１４×８㎝÷３－３㎝×３㎝×３.１４×４㎝÷３＝２６３.７６㎤

答え　２６３.７６㎤

（２）

（１）でかいた図を利用すると、（ア）＝３、（イ）＝６がわかります。

次に、円すい（大）と円すい（小）の展開図をかいて比べます。

図より、

（エ）＝ＡＢ＝５

（ウ）＝ＥＢ＝ＥＡ×２＝ＡＢ×２＝１０

が求められます。

（オ）は円すいの特別な公式「半径／母線＝中心角／３６０度」より、

６㎝／１０㎝＝３／５＝（オ）度／３６０度

なので、

（オ）＝３６０×３／５＝２１６

とわかります。

立体の表面積はその立体の展開図の面積と等しいことを利用して求めます。

３㎝×３㎝×３.１４＝９㎠×３.１４　…　小円の面積

６㎝×６㎝×３.１４＝３６㎠×３.１４　…　大円の面積

１０㎝×１０㎝×３.１４×２１６度／３６０度－５㎝×５㎝×３.１４×２１６度／３６０度＝４５㎠×３.１４　…　側面積（せんす形の部分）

（９㎠＋３６㎠＋４５㎠）×３.１４＝２８２.６㎠

答え　ア　３（㎝）、イ　６（㎝）、ウ　１０（㎝）、エ　５（㎝）、オ　２１６（度）、表面積　２８２.６㎠

本問は、円すい台に関する知識や解法、円すいの特別な公式「半径／母線＝中心角／３６０度」が確認できる問題でした。

なお、円すい台の側面積を求めるときに円すいの特別な公式「円すいの側面積＝母線の長さ×底面の半径×円周率」の利用することや、大小の円すいが相似であることから、面積や体積を相似比を利用して求めてもＯＫです。

それでは最後の問題です。

【問題】次の問いに答えなさい。ただし、円周率は３.１４とします。

（１）図１の太線で囲まれた図形を辺ＡＢの周りに１回転してできる立体の体積を求めなさい。ただし、図の１目盛りは１㎝であるとします。

（２）図２は底面の半径が９㎝、高さが１４㎝の円すいです。（１）の立体と図２の円すいを平らな床の上に、ともに高さが１４㎝になるように並べて置きます。ただし、（１）の立体は辺ＢＣを回転してできる面が床につくように置きます。次に２つの立体を床からの高さが同じ平面で水平に切ったところ、切り口の面積が等しくなりました。２つの立体を床から何㎝の高さで切ったのか、考えられるものをすべて求めなさい。