第717回　男子中の入試問題　立体図形 1

図形の練習問題｜ 2025年04月05日18時00分

「第７１７回　男子中の入試問題　立体図形１」

前回まで、近年に男子中の入試で出された「平面図形」の問題について考えました。

今回からは「立体図形」の問題を見ていきます。

その１回目の今回は、「柱体の求積」がテーマの問題を取り扱います。

１問目は、柱体の体積に関する基本レベルの問題です。

【問題】図１のような直方体から、底面の直径が４㎝の円柱の半分をくり抜いた形の容器があり、底面から水面までの高さが３㎝となるように水を入れました。また、図２のように、この容器の置き方を変えました。次の問いに答えなさい。ただし、円周率は３.１４とし、容器の厚みは考えないものとします。

１）容器に入っている水は何㎤ですか。

２）図２の底面から水面までの高さは何㎝ですか。

（立教池袋中学校　２０２４年　問題６　問題文一部変更）

【考え方】

１）

水の部分は、長方形から直径が４㎝の半円を取り除いた図形を底面とする、高さ３㎝の柱体です。

４㎝＋４㎝＋７㎝＝１５㎝　…　長方形の横の長さ

４㎝÷２＝２㎝　…　円の半径

４㎝×１５㎝－２㎝×２㎝×３.１４÷２＝５３.７２㎠　…　底面積

「柱体の体積＝底面積×高さ」ですから、水の体積は

５３.７２㎠×３㎝＝１６１.１６㎤

です。

答え　１６１.１６㎤

２）

水は、縦の長さが□㎝、横の長さが４㎝の長方形から、半径が２㎝の半円を取り除いた図形を底面とする、高さ５㎝の柱体です。

水の体積は容器の置き方を変えても変わりませんから、水の底面積は

１６１.１６㎤÷５㎝＝３２.２３２㎠

です。

４㎝×□㎝－２㎝×２㎝×３.１４÷２＝３２.２３２㎠

□㎝＝（３２.２３２㎠＋６.２８㎠）÷４㎝＝９.６２８㎝

答え　９.６２８㎝

本問は、柱体の体積の求め方を確認できる問題です。

２）を間違えているときは、計算が正しいか、「（長方形－半円）×高さ＝体積」を利用して式を作っているかをチェックしましょう。

２問目は、平面図形の知識を必要とする問題です。

【問題】下の［図Ⅰ］のような形を底面とする柱状の容器が［図Ⅱ］のように水平な地面につくように置かれています。この容器に水を入れたら［図Ⅲ］のようになりました。入れた水の体積は何㎤ですか。ただし、容器の厚みは考えないものとし、円周率は３.１４とします。

（本郷中学校　２０２４年　問題２－（６））

【考え方】

水は、［図Ⅲ］の斜線部分を底面とする、高さ３０㎝の柱体です。

容器と水を半分にした図形で底面積を考えます。

赤色三角形と水色三角形は「斜辺と他の一辺が等しい直角三角形」なので合同ですから、面積が同じ三角形です。

□＋☆＝□＋★　→　☆＝★

よって、水の底面（☆＋■）の面積は半径８㎝のおうぎ形（★＋■）の面積と同じです。

また、上の図の赤色三角形と水色三角形は、（斜辺の長さ）：（最も短い辺の長さ）＝２：１の直角三角形ですから、角○＝３０度です。

以上から、容器の水の半分の底面積は半径８㎝、中心角の大きさ３０度がのおうぎ形の面積と同じであることがわかります。

８㎝×８㎝×３.１４×３０度/３６０度×２×３０㎝＝１００４.８㎤

答え　１００４.８㎤

本問は、立体図形で利用する平面図形の知識を確認できる問題です。

もし、底面積を求めることができないようでしたら、次のような平面図形の問題でおさらいをしましょう。

３問目は、水の入った水そうを傾ける問題です。

【問題】下の図のように、あ○の部分が開いている容器が３点Ａ、Ｂ、Ｃが床に接するように置いてあります。この容器はとなり合っている面がすべて直角に交わっていて、上から１㎝のところまで水が入っています。この容器を２点Ｂ、Ｃが床から離れないように動かすことを考えます。この容器を２点Ｄ、Ｅが床に接するように動かしたとき、こぼれる水の量は（ ① ）㎤です。さらに、この容器を再びもとの状態にもどしたとき、水の深さが一番深いところは（ ② ）㎝です。（ ① ）、（ ② ）にあてはまる数を答えなさい。