「第７１５回　男子中の入試問題　平面図形 ４」

前回は、近年に男子中の入試で出された「平面図形」の問題から、「図形の折り返し」の問題を見ました。

今回取り扱うテーマは「辺の比と面積比」です。

１問目は、定番の基本問題です。

【問題】下の図の平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、辺ＢＣ上にＢＥ：ＥＣ＝２：３となる点Ｅをとり、辺ＣＤ上に点Ｆをとります。三角形ＡＢＥ、三角形ＡＦＤの面積がそれぞれ１０㎠、１１㎠のとき、ＣＦ：ＦＤを最も簡単な整数の比で答えなさい。

（明治大学付属中野中学校　２０２４年　問題２－（５））

【考え方】

対角線ＡＣを引いて、三角形ＡＢＥと高さが等しい三角形ＡＥＣ、三角形ＡＦＤと高さが等しい三角形ＡＣＦを作ります。

高さが等しい三角形の面積比は底辺の比と等しいので、

１０㎠：□㎠＝２：３　→　□＝１０㎠×３÷２＝１５㎠

です。

１０㎠＋１５㎠＝２５㎠　…三角形ＡＢＣの面積（＝平行四辺形ＡＢＣＤの面積の半分）

２５㎠－１１㎠＝１４㎠　…　三角形ＡＣＦの面積

△ＡＣＦ：△ＡＦＤ＝１４㎠：１１㎠＝１４：１１

よって、ＣＦ：ＦＤ＝１４：１１ です。

答え　１４：１１

本問は、高さが等しい三角形の底辺の比と面積の関係を確認できる問題です。

対角線ＡＣを引くと高さの等しい三角形が２組でき、同時に平行四辺形の面積を２等分する点がポイントです。

２問目も、定番の問題です。

【問題】四角形ＡＢＣＤはＡＢ＝６㎝、ＡＤ＝８㎝の長方形で、点Ｅ、Ｆ、Ｇは辺ＢＣを４等分する点、点Ｈ、Ｉは辺ＣＤを３等分する点とします。また、ＢＤとＡＥ、ＡＩの交わる点をそれぞれＪ、Ｋとします。

（１） ＢＪ：ＫＤを最も簡単な整数の比であらわしなさい。

（２） 三角形ＡＪＫの面積は何㎠ですか。

（芝中学校　２０２４年　問題３　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

三角形ＡＤＪと三角形ＥＢＪは相似で、相似比は ＡＤ：ＥＢ＝４：１ ですから、ＤＪ：ＢＪ も ４：１ です。

また、三角形ＡＢＫと三角形ＩＤＫも相似で、相似比は ＡＢ：ＩＤ＝３：１ ですから、ＫＢ：ＫＤ も ３：１ です。

ＢＤに着目して比をそろえます。

よって、ＢＪ：ＫＤ＝４：５ です。

答え　４：５

（２）

三角形ＡＪＫと三角形ＡＢＤは高さが等しく、（１）より底辺の比が

ＪＫ：ＢＤ＝｛２０－（４＋５）｝：２０＝１１：２０

です。

ですから、面積比も １１：２０ です。

８㎝×６㎝÷２＝２４㎠　…三角形ＡＢＤの面積

△ＡＪＫ：２４㎠＝１１：２０　→　△ＡＪＫ＝２４×１１÷２０＝１３.２㎠

答え　１３.２㎠

本問の（１）は２組の相似の利用と比のそろえ方、（２）は高さが等しい三角形の面積比の考え方を確認できる問題です。

いずれも重要ですから、もし、正解できないときは類題などで復習をしましょう。

最後は、応用レベルの問題です。

【問題】図はＡＤとＢＣが平行な台形ＡＢＣＤで、点ＥはＢＣの真ん中の点です。ＦＧとＣＨが平行で、ＤＩとＢＨの長さが等しいとき、斜線部分の面積の和は何㎠ですか。

（早稲田中学校　２０２５年　問題２－（２））

【考え方】

ＦＧとＣＨが平行ですから、三角形ＤＦＩと三角形ＤＣＪは相似で、相似比は

ＤＦ：ＤＣ＝６㎝：（６㎝＋９㎝）＝２：５

です。

よって、ＦＩ：ＣＪ も ２：５ です。

さらに、三角形ＤＦＩと三角形ＤＣＪと台形ＦＣＪＩの面積比は

（２×２）：（５×５）：（５×５－２×２）＝④：㉕：㉑

です。

また、四角形ＡＢＥＤはＡＤとＢＥが平行で ＡＤ＝ＢＥ＝８㎝ ですから、平行四辺形です。

よって、ＡＢとＤＥも平行なので、三角形ＣＥＪと三角形ＣＢＨは相似比が

ＣＥ：ＣＢ＝８㎝：１６㎝＝１：２

である相似な三角形です。

従って、ＣＪ：ＣＨ も １：２、三角形ＣＥＪと三角形ＣＢＨと台形ＥＢＨＪの面積比は

（１×１）：（２×２）：（２×２－１×１）＝１□：４□：３□

です。

さらに、ＦＧとＣＨ、ＡＢとＤＥがそれぞれ平行なので、四角形ＩＪＨＧは台形ＦＣＪＩと高さが等しい平行四辺形ですから、四角形ＩＪＨＧと台形ＦＣＪＩの面積比は、底辺の比と同じ

（５＋５）：（２＋５）＝１０：７

です。

㉑×１０/７＝㉚　…　平行四辺形ＩＪＨＧの面積

また、ＤＩ＝ＢＨ より台形ＥＢＨＪと台形ＡＤＩＧは合同なので、台形ＡＤＩＧの面積は３□です。

平行四辺形ＡＢＥＤの面積＝㉚＋６□＝８㎝×１５㎝＝１２０㎠　…（ア）

（ア）÷６　→　⑤＋１□＝２０㎠　…（イ）

三角形ＤＥＣの面積＝㉕＋１□＝８㎝×１５㎝÷２＝６０㎠　…（ウ）

（ウ）－（イ）より、

⑳＝４０㎠　→　①＝４０㎠÷２０＝２㎠

です。

これを（イ）に代入すると、

２㎠×５＋１□＝２０㎠　→　１□＝１０㎠

となります。

以上より、斜線部分の面積は

 ④＋㉚＋１□＝２㎠×（４＋３０）＋１０㎠＝７８㎠

です。

答え　７８㎠

本問は、下の図のような定番問題の台形部分を取り出した問題です。（答え　２/７倍）

本問を正解できないようでしたら、まずはこのような定番の問題が解けることを確認しましょう。

今回は、２０２４年度と２０２５年度に男子中の入試で出された「辺の比と面積比」の問題をご紹介しました。

１問目と２問目は「辺の比と面積比」の基本の考え方を使う問題ですから、既習であれば必ず正解させましょう。

３問目はやや難しい問題ですが、定番の問題の一部を切り取った問題ですから、正解できなかったときは例示の問題をヒントにして再考してみましょう。