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第714回　男子中の入試問題　平面図形 3

図形の練習問題｜ 2025年03月15日18時00分

「第７１４回　男子中の入試問題　平面図形３」

ここまで、近年に男子中の入試で出された「平面図形」の問題から、「角の大きさ」と「求積」がテーマの問題を見てきました。

今回は「図形の折り返し」に関する問題を取り扱います。

１問目は、定番の問題です。

【問題】下の図のように、１辺が１８㎝の正方形ＡＢＣＤを、ＦＢ＝１２㎝となるように折ったところ、三角形ＥＢＦの面積は３０㎠になりました。次の各問いに答えなさい。

（１）ＥＦの長さは何㎝ですか。

（２）ＦＩの長さは何㎝ですか。

（３）三角形ＧＨＩの面積は何㎠ですか。

（高輪中学校　２０２４年　問題４）

【考え方】

（１）

台形ＥＦＧＨは台形ＥＡＤＨを折ったものですから、この２つの台形は合同です。

よって、ＥＦ＝ＥＡです。

次に、三角形ＥＢＦに着目すると、

１２㎝×□㎝÷２＝３０㎠　→　□㎝＝３０㎠×２÷１２㎝＝５㎝

とわかります。

ですから、

ＥＦ＝ＥＡ＝ＡＢ－ＥＢ＝１８㎝－５㎝＝１３㎝

です。

答え　１３㎝

（２）

「直角三角形は角に○、×をかくと、相似な三角形を見つけやすい」を利用します。

左下図のように直角三角形ＢＥＦの角に○、×をつけます。

三角形の内角の和は１８０度ですから、

○＋×＋９０度＝１８０度　→　○＋×＝９０度

です。

また、

○＋９０度＋角ア＝１８０度　→　○＋角ア＝９０度

ですから、角ア＝×とわかります。（右下図）

三角形ＢＥＦと三角形ＣＦＩは対応する２つの角の大きさが等しいので、相似です。

ＥＢ：ＦＣ＝５㎝：（１８㎝－１２㎝）＝５：６　…　相似比

よって、ＥＦ：ＦＩも５：６です。

１３㎝：ＦＩ＝５：６　→　ＦＩ＝１３㎝×６÷５＝１５.６㎝

答え　１５.６㎝

（３）

（２）の ○＋×＝９０度より、三角形ＣＦＩ、三角形ＧＨＩの角に○、×をかくことができます（下図）から、三角形ＣＦＩと三角形ＧＨＩも相似とわかります。

ＧＩ＝ＦＧ－ＦＩ＝ＡＤ－ＦＩ＝１８㎝－１５.６㎝＝２.４㎝

ところで、三角形ＢＥＦの底辺と高さの比は１２：５ですから、三角形ＧＨＩの底辺と高さの比も５：１２です。

ＨＧ：ＧＩ＝５：１２　→　ＨＧ＝２.４㎝×５÷１２＝１㎝

ですから、三角形ＧＨＩの面積は

２.４㎝×１㎝÷２＝１.２㎠

です。

答え　１.２㎠

本問は、折り返しと直角三角形の相似について確認できる問題です。

なお、（３）では相似な三角形の面積比を利用して解くこともできます。

２問目は、「折り返しの作図」の問題です。

【問題】三角形ＡＢＣは、辺ＡＢの長さが６㎝、辺ＢＣの長さが８㎝、辺ＣＡの長さが１０㎝であり、角Ｂの大きさが９０°の直角三角形です。辺ＣＡ上に点Ｄをとり、ＢＤを折り目として下の図のように折ります。このとき、点Ａが移動した点をＥとします。必要であれば問題下の図を用いてもよいですが、問題用紙を切り取ってはいけません。