第713回 男子中の入試問題 平面図形 2
「第７１３回 男子中の入試問題 平面図形 ２」
前回から、近年に男子中の入試で出された「平面図形」の問題を見ています。
今回は「求積」がテーマの問題を取り扱います。
１問目は、「図形の周りの長さ」の問題です。
【問題】下の図の四角形ＡＢＣＤは長方形です。また、四角形ＥＦＧＨは正方形です。ＡＨの長さは５３２㎝、ＦＣの長さは４８０㎝です。このとき、長方形ＡＢＣＤの周りの長さを求めなさい。
（逗子開成中学校 ２０２４年 問題２－（４））
【考え方】
長方形の周りの長さ＝（たての長さ＋横の長さ）×２ です。
そこで、長方形のたてと同じ長さである正方形の１辺の長さを□㎝とします。
長方形ＡＢＣＤの横の長さは
ＡＤ＝ＡＨ＋ＦＣ－□㎝＝１０１２㎝－□㎝
です。
よって、
長方形ＡＢＣＤのたての長さ＋長方形ＡＢＣＤの横の長さ
＝□㎝＋１０１２㎝－□㎝
＝１０１２㎝
となりますから、周りの長さは
１０１２㎝×２＝２０２４㎝
です。
答え ２０２４㎝
本問は、長方形の周りの長さの求め方と重なりの考え方を確認できる問題です。
ＥＨ（＝ＦＧ）をＡＨとＦＣの重なりと見ると、「重なりは引く」の考え方を利用できるところがポイントです。
２問目からは、曲線図形がテーマの問題です。
まずは、定番の問題です。
【問題】下の図のように、１辺の長さが４㎝の正方形の中に、おうぎ形と正方形をかきました。斜線部分の面積は何㎠ですか。ただし、円周率は３.１４とします。
（佼成学園中学校 ２０２４年 問題２－（５） 問題文一部変更）
【考え方】
次のような図形式をかくことができます。
４㎝×４㎝×３.１４×９０度/３６０度－４㎝×４㎝×１/２
＝１２.５６㎠－８㎠
＝４.５６㎠
答え ４.５６㎠
本問は、面積の公式がない図形の求め方のうちの「全体から引く」と図形式の利用が確認できる問題です。
なお、解答例の他に、２つの斜線部分を合わせて弓形を作るという解き方もあります。
では、３問目です。
【問題】１辺の長さが５㎝の正方形の紙を１６枚組み合わせて大きな正方形を作り、下の図のように円周の一部をかきました。●は円の中心を表します。次の問いに答えなさい。ただし、円周率は３.１４とします。
（１） 影をつけた部分の周りの長さは何㎝ですか。
（２） 影をつけた部分の面積は何㎠ですか。
（立教池袋中学校 ２０２４年 問題２ 問題文一部変更）
【考え方】
（１）
影をつけた４つの図形は合同なので、そのうちの１つに着目します。
１０㎝×２×３.１４×９０度/３６０度＋５㎝×２×３.１４×９０度/３６０度＋５㎝×２×３.１４×９０度/３６０度
＝（１０㎝＋５㎝＋５㎝）×２×３.１４×９０度/３６０度
＝３１.４㎝
３１.４㎝×４＝１２５.６㎝
答え １２５.６㎝
（２）
弓形（小）を移動させると、次のような図形式で考えることができます。
１０㎝×１０㎝×３.１４×９０度/３６０度－１０㎝×１０㎝×１/２
＝７８.５㎠－５０㎠
＝２８.５㎠
２８.５㎠×４＝１１４㎠
答え １１４㎠
本問は、合同な図形が集まった図形の考え方と弓形の求め方を確認できる問題です。
最後も、曲線図形の問題です。
【問題】下の図のように円周を８等分する点があります。ＡＢ＝２㎝のとき、斜線部分の面積は何㎠ですか。ただし、円周率は３.１４とします。
（城北中学校 ２０２４年 問題２－（４） 問題文一部変更）
【考え方】
補助線が必要な円と面積の問題では、「円周上の点と円の中心を結ぶときにできる二等辺三角形やおうぎ形に着目する」ことが基本です。
３６０度÷８×２＝９０度 … 角ＡＯＢの大きさ
二等辺三角形ＯＡＢの角ＡＯＢの大きさが９０度ですから、三角形ＯＡＢは直角二等辺三角形です。
直角二等辺三角形ＯＡＢの底辺をＡＢとすると
ＯＤ＝２㎝÷２＝１㎝ … 高さ
ですから、面積は
２㎝×１㎝÷２＝１㎠
です。
次に、円Ｏの半径を□㎝とすると、直角二等辺三角形ＯＡＢの直角をはさむ２辺の長さも□㎝ですから、
□㎝×□㎝÷２＝１㎠ → □㎝×□㎝＝２㎠
です。
□㎝×□㎝×３.１４×９０度/３６０度
＝２㎠×３.１４×９０度/３６０度
＝１.５７㎠ … おうぎ形ＯＢＣの面積
ですから、斜線部分の面積は
１㎠＋１.５７㎠＝２.５７㎠
です。
答え ２.５７㎠
本問は、円問題の補助線と半径の長さがわからないおうぎ形の面積の考え方が確認できる大切な問題です。
今回は、２０２４年度に男子中の入試で出された「求積」がテーマの問題をご紹介しました。
いずれの問題も基本レベルの問題ですが、図形問題を解く際に利用する重要な考え方を確認できる問題でもあります。
既習範囲であれば、どの問題も正解を目指しましょう。
