「第７０９回　男子中の入試問題　速さ ４」

近年に男子中の入試で出された「速さ」の問題について考えています。

前回は「坂道の問題」と「規則性のある旅人算」を見ました。

今回は「流水算」を取り扱います。

１問目は、基本レベルの問題です。

【問題】川の上流にあるＡ町と下流にあるＢ町を行き来する船があります。いつもは、Ａ町からＢ町へ行くのに３０分、Ｂ町からＡ町に行くのに５０分かかります。ある日、川の流れの速さがいつもの２倍になりました。この日、Ａ町からＢ町まで行くのに何分かかりますか。ただし、Ａ町からＢ町へ行くときもＢ町からＡ町に行くときも、船自体の速さはそれぞれ一定であるものとします。

（サレジオ学院中学校　２０２４年　問題２－（１）　問題文一部変更）

【考え方】

流水算では、はじめに状況図をかき、必要であれば線分図やグラフをかくという手順が基本の解き方です。

状況図から、

① 下りと上りとの道のりが同じなので、時間の比と速さの比は逆比の関係

② ＡＢ間の道のり（距離）を１または時間の最小公倍数に仮定

の２つの解き方が利用できるとわかります。

ここでは、ＡＢ間の道のりを時間（３０分、５０分）の最小公倍数の１５０□と仮定する解き方を選ぶことにします。

１５０□÷３０分＝５□/分　…　いつもの下りの速さ

１５０□÷５０分＝３□/分　…　いつもの上りの速さ

速さの関係を線分図に整理します。

（５□/分－３□/分）÷２＝１□/分　…　流速

３□/分＋１□/分＝４□/分　…　静水時の速さ

ある日の流速は

１□/分×２＝２□/分

ですから、Ａ町からＢ町まで下るときの速さは

４□/分＋２□/分＝６□/分

です。

１５０□÷６□/分＝２５分

答え　２５分

本問は、流水算の基本が確認できる問題です。

もし、速さを求められないようでしたら、解答例のような線分図をかいてみましょう。

２問目は、２つの船に関する問題です。

【問題】ある川の下流の地点Ａと上流の地点Ｂを、速さの異なる船Ｘと船Ｙが往復します。船ＸがＡからＢまで上るのにかかる時間は、ＢからＡまで下るのにかかる時間の１.６倍です。また、船ＸがＢからＡまで下るのにかかる時間と船ＹがＡからＢまで上るのにかかる時間は同じ８０分です。ただし、川の流れの速さ、船Ｘの静水時の速さ、船Ｙの静水時の速さはそれぞれ一定とします。次の問いに答えなさい。

（１）船Ｘの静水時の速さと川の流れの速さの比を、最も簡単な整数の比で求めなさい。

（２）船ＸがＡからＢまで上るのにかかる時間は何分ですか。

（３）船ＹがＡとＢを往復するのにかかる時間は何分ですか。

（巣鴨中学校　２０２４年　問題２）

【考え方】

（１）

はじめに、状況図をかきます。

状況図から、船Ｘについて、「比の利用」、「道のりを仮定」のどちらもが可能であるとわかります。

今回は「比の利用」を用いてみます。

速さの関係を線分図に整理します。

（８－５）÷２＝１.５　…　流速

５＋１.５＝６.５　…　静水時の速さ

（静水時の速さ）：（川の流れの速さ）＝６.５：１.５＝１３：３

答え　１３：３

（２）

船ＸがＡからＢまで上る時間を□分とします。

□分：８０分＝８：５　→　□＝８０分×８÷５＝１２８分

答え　１２８分

（３）

（１）の結果を利用します。

船Ｘの静水時の速さを１３□/分、流速を３□/分とすると、船Ｘの下りの速さは

１３□/分＋３□/分＝１６□/分

です。

「船ＸがＢからＡまで下るのにかかる時間と船ＹがＡからＢまで上るのにかかる時間は同じ」という条件より、船Ｙの上りの速さは船Ｘの下りの速さと同じ１６□/分です。

１６□/分＋３□/分＝１９□/分　…　船Ｙの静水時の速さ

１９□/分＋３□/分＝２２□/分　…　船Ｙの下りの速さ

１６□/分×８０分＝１２８０□　…　ＡＢ間の道のり

１２８０□÷２２□/分＝６４０/１１分＝５８ ２/１１分　…　船Ｙが下りにかかる時間

８０分＋５８ ２/１１分＝１３８ ２/１１分

答え　１３８ ２/１１分

本問も、流水算の基本が確認できる問題です。

もし、流水算が苦手であれば、状況図をかくことと、「比の利用と、「道のりを仮定」の２通りの解き方のどちらか一方がマスターすることから始めましょう。

最後は、流水算のグラフ問題です。

【問題】流れの速さが時速６㎞の川の上流にＣ地点、下流にＡ地点があり、Ａ地点とＣ地点の真ん中にＢ地点があります。船はＡ地点からＣ地点まで行き、その後Ｃ地点とＢ地点でそれぞれ１０分間停船してＡ地点に戻ります。船の静水時の速さは一定です。下のグラフは、船がＡ地点を出発してからＡ地点に戻ってくるまでの時間と、Ａ地点からの距離の関係を表したものです。

（１）船がＡ地点を出発してからＣ地点に到着するまでにかかる時間は何分ですか。

（２）船の静水時の速さは時速何㎞ですか。

（３）Ａ地点からＣ地点までの距離は何㎞ですか。

（４）船がＡ地点からＣ地点へ向かっている途中で船から浮き輪を流したところ、船と浮き輪が同時にＢ地点に着きました。浮き輪を流したのは船がＡ地点を出発してから何分何秒後ですか。

（成城中学校　２０２４年　問題６）

【考え方】

（１）

船がＢ地点を出発するのは

１０５分後＋１０分＝１１５分後

です。

１４０分後－１１５分後＝２５分　…　船がＢ地点からＡ地点までにかかる時間

Ｂ地点はＡ地点とＣ地点の真ん中にあるので、Ｃ地点からＢ地点までにかかる時間も２５分です。

１０５分後－２５分＝８０分後　…　船がＣ地点を出発する時刻

８０分－１０分＝７０分

答え　７０分

（２）

（１）のグラフより、船がＢ地点で停船しなければ、Ｃ地点からＡ地点まで下るのにかかる時間は

２５分＋２５分＝５０分

とわかります。

比を利用します。

上りの速さを⑤/時として、速さの関係を線分図に整理します。

⑤㎞/時＋６㎞/時＋６㎞/時＝⑦㎞/時　→　①㎞/時＝１２㎞/時÷２＝６㎞/時

６㎞/時×５＝３０㎞/時　…　上りの速さ

３０㎞/時＋６㎞/時＝３６㎞/時

答え　時速３６㎞

（３）

３０㎞/時×７０/６０時間＝３５㎞

答え　３５㎞

（４）

浮き輪は川の流れによって流されますので、ＢＣ間の途中で流され始めてＢ地点に着いたことになります。

３５㎞÷２＝１７.５㎞　…　ＢＣ間の距離

３６㎞/時＋６㎞/時＝４２㎞/時　…　下りの速さ

船と浮き輪の様子を線分図に整理します。

６㎞/時×（１０５分後－７０分後）/６０分＝３.５㎞　…　浮き輪が７０分後から１０５分後までに流された距離

ですから、船の●→○の距離と浮き輪の●→○の距離の和は

１７.５㎞－３.５㎞＝１４㎞

です。

１４㎞÷（３０㎞/時＋６㎞/時）×６０＝７０/３分＝２３ １/３分＝２３分２０秒　…　●→○の時間

７０分後－２３分２０秒＝４６分４０秒後

答え　４６分４０秒後

本問は、流水算の条件をグラフから読み取る基本レベルの問題です。

（４）は一見すると難しそうに思われますが、（３）までにわかったことを線分図に整理すると方針が立てやすい問題です。

なお、解答例では線分図に書き直しましたが、浮き輪の動きをグラフの中にかき込んでもよいでしょう。

今回は、２０２４年度に男子中の入試で出された「流水算」の問題をご紹介しました。

いずれの問題も、「道のり（距離）を仮定」や「比の利用」が利用できること、上り・下り・静水時・川の流れの速さの関係の理解度などが確認できる基本問題です。

既習範囲であれば、これらの問題で定着度をチェックしてみましょう。