第708回 男子中の入試問題 速さ 3
「第７０８回 男子中の入試問題 速さ ３」
近年の男子中の入試で出された「速さ」の問題について考えています。
前回は「池タイプの旅人算」を見ました。
今回は「坂道の問題」、「規則性のある旅人算」を取り扱います。
１問目は坂道の基本問題です。
【問題】図のようにＡ地点からＣ地点までは上りで、Ｃ地点からＢ地点までは下りになっています。Ａ地点からＢ地点に行くのに５時間３０分、Ｂ地点からＡ地点に行くのに５時間４５分かかります。このとき、ＢＣ間の距離は何㎞ですか。ただし、上るときは時速４㎞、下るときは時速６㎞の速さで進むものとします。
（本郷中学校 ２０２４年 問題２－（５））
【考え方】
坂道の問題には、差集め算または消去算を利用する、２つの基本の解き方があります。
ここでは、差集め算を利用して解いてみます。
上の図のように、ＡＣ＝ＤＣとなるＤ地点を作ります。
ＡＣ＝ＤＣですから、
（Ａ→Ｃにかかる時間）＝（Ｄ→Ｃにかかる時間）
（Ｃ→Ｄにかかる時間）＝（Ｃ→Ａにかかる時間）
なので、
５時間４５分－５時間３０分＝１５分
は、ＤＢ間を上ったり下ったりする時間の差です。
１㎞を６㎞/時で進むときにかかる時間は
１㎞÷６㎞/時×６０＝１０分、
１㎞を４㎞/時で進むときにかかる時間は
１㎞÷４㎞/時×６０＝１５分
なので、１㎞を上ったり下ったりする時間の差は
１５分－１０分＝５分です。
１㎞の上りと下りで５分の差、ＤＢ間の上りと下りで１５分の差ですから、ＤＢ間の距離は
１㎞×（１５分/５分）＝３㎞
です。
３㎞÷６㎞/時＝１/２時間＝３０分 … Ｄ→Ｂにかかる時間
５時間３０分－３０分＝５時間 … Ａ→Ｃ→Ｄにかかる時間
Ａ→Ｃにかかる時間とＣ→Ｄにかかる時間の関係は、次の通りです。
５時間×２/（３＋２）＝２時間 … Ｃ→Ｄにかかる時間
６㎞/時×２時間＋３㎞＝１５㎞
答え １５㎞
本問は、坂道の問題の基本が確認できる問題です。
なお、
③時間＋２□時間＝５.５時間
と
②時間＋３□時間＝５.７５時間
のような式を作って、消去算を用いてもＯＫです。
２問目は、坂道以外に平地部分もありますが、１問目とほぼ同じレベルの問題です。
【問題】ＡさんとＢさんは宿舎を同時に出発して球場に向かいます。宿舎から球場までは上り坂と下り坂と平地があり、平地の道のりは１.８㎞です。平地ではＡさんは毎時３.６㎞、Ｂさんは毎時５.４㎞で進みます。上り坂ではＢさんがＡさんの４/３倍、下り坂ではＡさんがＢさんの１.２倍の速さで進みます。Ｂさんが上り坂と下り坂を進むのにかかった時間は合わせて２７分で、Ｂさんの方がＡさんよりも１３分早く球場に着きました。次の問いに答えなさい。
（１）平地にかかった時間の差は何分か求めなさい。
（２）Ａさんが上り坂にかかった時間および下り坂にかかった時間をそれぞれ求めなさい。
（暁星中学校 ２０２４年 問題３）
【考え方】
（１）
１.８㎞÷３.６㎞/時×６０＝３０分 … Ａさんが平地にかかる時間
１.８㎞÷５.４㎞/時×６０＝２０分 … Ｂさんが平地にかかる時間
３０分－２０分＝１０分
答え １０分
（２）
特に指定されていませんので、宿舎から球場まで平地、上り坂、下り坂の順にあるものとして、条件を整理します。
上りの速さの比 Ａさん：Ｂさん＝１：４/３＝３：４
下りの速さの比 Ａさん：Ｂさん＝１.２：１＝６：５
２０分＋２７分＝４７分 … Ｂさんが宿舎から球場までにかかった時間
４７分＋１３分＝６０分 … Ａさんが宿舎から球場までにかかった時間
６０分－３０分＝３０分 … Ａさんが上り坂と下り坂にかかった時間の和
坂道の部分について、この問題では消去算を利用してみます。
同じ距離にかかる時間の比は、速さの比の逆比ですから、上り坂にかかる時間の比は Ａさん：Ｂさん＝４：３、下り坂にかかる時間の比は Ａさん：Ｂさん＝５：６ です。
④分＋５□分＝３０分 …（ア）
③分＋６□分＝２７分 …（イ）
□を３０でそろえます。
①＝４５分÷９＝５分
５分×４＝２０分 … Ａさんが上り坂にかかる時間
３０分－２０分＝１０分 … Ａさんが下り坂にかかる時間
答え 上り坂 ２０分、下り坂 １０分
本問も、坂道の問題の基本が確認できる問題です。
解答例では消去算を利用しましたが、１問目と同じように、差集め算を利用して解くこともできます。
もし、坂道の問題が苦手なようでしたら、まずは、差集め算を利用する解き方と消去算を利用する解き方のどちらか一方の解き方をマスターすることから始めましょう。
最後は、規則性のある旅人算です。
【問題】点Ａと点Ｂを結ぶ長さが１２㎝のまっすぐな線上を動く２点ＰとＱがあり、点Ｐは毎秒１㎝、点Ｑは毎秒３㎝の速さで常に動くものとします。まず、点Ｐ、点Ｑはともに点Ａを出発し、点Ｂに向かって進みます。その後、点Ｑは点Ｂに到着すると、向きを変えて点Ａに向かって進みます。次に、点Ｑは点Ｐと出会うと、また向きを変えて点Ｂに向かって進みます。点Ｐが点Ｂに到着するまで、点Ｑはこの動きを繰り返します。このとき、次の問いに答えなさい。
（１）２点Ｐ、Ｑが点Ａを出発したのちに、初めて出会うのは点Ｐが点Ａを出発してから何秒後ですか。
（２）２点Ｐ、Ｑが点Ａを出発したのちに、２回目に出会うのは点Ｐが点Ａを出発してから何秒後ですか。
（３）２点Ｐ、Ｑが点Ａを出発したのち、１１.６秒後までに２点Ｐ、Ｑが出会う回数は何回ですか。
（４）（３）において２点Ｐ、Ｑが最後に出会うときまでに点Ｑが進んだ道のりの合計は何㎝ですか。
（浅野中学校 ２０２４年 問題３）
【考え方】
（１）
条件を線分図に整理します。
点Ｐと点Ｑが点Ａを出発してから出会うまでに進んだ道のりの和は
１２㎝×２＝２４㎝
です。
２４㎝÷（１㎝/秒＋３㎝/秒）＝６秒後
答え ６秒後
（２）
条件を線分図に整理します。
点Ｐと点Ｑが1回目に出会ってから２回目に出会うまでに進んだ道のりの和は
６㎝×２＝１２㎝
です。
１２㎝÷（１㎝/秒＋３㎝/秒）＝３秒後
６秒後＋３秒後＝９秒後
答え ９秒後
（３）
（１）、（２）の線分図から、２点Ｐ、Ｑが点Ａを出発してから１回目に出会うまでに２人が進む道のりの和が
１２㎝×２＝２４㎝
１回目に出会ってから２回目に出会うまでに２人が進む道のりの和が
６㎝×２＝１２㎝
のように、次に出会うまでに２人が進む道のりの和がその前の半分になることがわかります。
この規則性を利用すると、次のような表に整理できます。
ですから、２点Ｐ、Ｑが点Ａを出発してから１１.６秒後までに出会う回数は４回とわかります。
答え ４回
（４）
点Ｑは休まずに１１.２５秒間動き続けます。
３㎝/秒×１１.２５秒＝３３.７５㎝
答え ３３.７５㎝
本問は、規則性を利用した解き方が確認できる問題です。
（３）も（１）、（２）と同様に線分図をかいても構いませんが、解答例のように規則性を利用すると解きやすくなります。
また、条件をダイヤグラムに整理し、グラフの中にある相似形に着目する解き方もあります。
今回は、２０２４年度に男子中の入試で出された「坂道の問題」と「規則性のある旅人算」をご紹介しました。
坂道の基本問題は初見では難しいと思いますが、差集め算または消去算の一方を利用した解き方をマスターすると、解ける問題を増やすことができます。
既習範囲であれば、今回の１問目や２問目で考え方の定着度を確認してみましょう。
３問目の（３）は、ていねいに線分図をかくと正解できますが、規則性を使って解ける問題もあるということも覚えておけるといいですね。
