「第７０５回　男子中の入試問題　比と割合 ５」

前回は、２０２４年度に男子中の入試で出された「比と割合」の中から、「売買算」と「仕事算」について考えました。

今回は「ニュートン算」の問題をみていきます。

１問目は基本レベルの問題です。

【問題】水が入った水そうに、一定の量で水を入れると同時にポンプを使って水をくみ出します。水そうを空にするには、５台のポンプでは６０分かかり、７台のポンプでは３０分かかります。１４分以内に水そうを空にするには、最も少ない場合で何台のポンプが必要ですか。

（城北中学校　２０２４年　問題２－（５）　問題文一部変更）

【考え方】

ニュートン算は「邪魔をされる仕事算」とも言えますから、解き方の基本は仕事算とほぼ同じです。

はじめに、「名前のない仕事算」の解き方を利用してみましょう。

ポンプ１台が１分でくみ出す水の量を１とします。

ポンプがくみ出した水の量は、５台では

１×５台×６０分＝３００

７台では

１×７台×３０分＝２１０

です。

くみ出した水の量が等しくない理由は、水を入れている時間が等しくないからです。

このことを線分図で表します。

（ア）に着目すると、

６０分－３０分＝３０分

入れた水の量が

３００－２１０＝９０

とわかります。

９０÷３０分＝３　…　１分に入る水の量

ですから、はじめに入っていた水の量も

３００－３×６０＝１２０

とわかります。

１４分で水そうを空にするために必要なポンプの台数を□台として、線分図をかきます。

１×□台×１４分＝１２０＋３×１４分　→　□＝１６２÷１４＝１１.５…

よって、１４分以内に水そうを空にするには最も少ない場合で

１１台＋１台＝１２台

のポンプが必要です。

答え　１２台

「名前のある仕事算」の解き方を利用すると、次のようになります。

はじめに入っていた水の量を時間（３０分、６０分）の最小公倍数の６０とします。

☆＝６０÷６０分＝１　…　１分で５台のポンプがくみ出す水の量と入れる水の量の差

★＝６０÷３０分＝２　…　１分で７台のポンプがくみ出す水の量と入れる水の量の差

差に着目すると、１分で１台のポンプがくみ出す水の量は

（２－１）÷（７台－５台）＝１/２

とわかります。

☆＝１ より

１/２×５台－１分で入れる水＝１　→　１分で入れる水＝５/２－１＝３/２

です。

６０の水を１４分で空にするには、１分で

６０÷１４＝３０/７

の水を減らす必要があります。

ポンプの台数を□台とします。

１/２×□台－３/２＝３０/７

□＝（３０/７＋３/２）÷１/２＝８１/７＝１１ ４/７　→　１２台

答え　１２台

本問は、ニュートン算の解き方の基本が確認できる問題です。

ニュートン算も前回の仕事算と同じように、単位あたりの仕事量（例：１台のポンプが１分でくみ出す水の量）を１とする解き方と、全体の仕事量（例：はじめに水そうに入っていた水の量）を時間などの最小公倍数とする解き方があります。

２問目も基本レベルの問題です。

【問題】ある牧草地に牛が放牧されています。牧草地の草を、５２頭ではちょうど１２日で食べつくし、３７頭ではちょうど２１日で食べつくします。ただし、１日あたりに牛１頭が食べる草の量と、１日あたりに生える草の量は、それぞれ一定とします。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）草を食べつくすことなく放牧できる牛の頭数は最大何頭ですか。

（２）３２頭を放牧すると、草を食べつくすのはちょうど何日ですか。

（世田谷学園中学校　２０２４年　問題４）

【考え方】

牛に名前がついていませんので、「名前のない仕事算」の解き方を利用することにします。

１日あたりに牛１頭が食べる草の量を１として、条件を線分図に整理します。

１×５２頭×１２日＝６２４

１×３７頭×２１日＝７７７

（ア）に着目します。

（７７７－６２４）÷（２１日－１２日）＝１７　…　１日あたりに生える草の量

「草を食べつくすことがない」のは

（１日あたりに牛が食べる草の量）≦（１日あたりに生える草の量）

ときです。

このときの牛の最大の頭数を□頭とします。

１×□頭 ≦ １７　→　□頭 ≦ １７÷１＝１７頭

答え　１７頭

（２）

６２４－１７×１２＝４２０　…　はじめに生えていた草の量

草を□日で食べつくすとします。

１×３２頭×□日－１７×□日＝４２０　→　□日＝４２０÷（３２－１７）＝２８日

答え　２８日

本問も、ニュートン算の基本が確認できる問題です。

なお、（２）の解答例はで分配のきまりを利用していますが、「４２０前にいる速さ１７の草を、速さ３２の牛が追いかける『旅人算』」と考えて

４２０÷（３２－１７）＝２８

とすることもできます。

３問目は応用レベルの問題です。

【問題】３つのポンプＡ、Ｂ、Ｃがあり、これらのポンプを使って、水そうに水を入れたり、水そうから水を出したりします。空の水そうにＡで水を入れ、同時にＢで水を出すと１８分で満水になります。また、空の水そうにＡで水を入れ、同時にＣで水を出すと１２分で満水になります。ただし、ポンプが１分間に入れる水の量と１分間に出す水の量は同じです。

（１）空の水そうにＢで水を入れ、同時にＣで水を出すと何分で満水になりますか。

（２）空の水そうにＢとＣで水を入れ、同時にＡで水を出しました。１分後にＡだけを止めたところ、水を入れはじめてから４分後に水そうは満水になりました。空の水そうにＡで水を入れると、何分何秒で満水になりますか。

（桐朋中学校　２０２４年　問題５）

【考え方】

（１）

ポンプに名前がついていますから、「名前のある仕事算」の解き方を利用することにします。

水そうの容積を時間（１８分、１２分）の最小公倍数の３６とします。

３６÷１８分＝２　…　Ａ－Ｂ

３６÷１２分＝３　…　Ａ－Ｃ

（ア）より、

Ｂ－Ｃ＝１

とわかります。

３６÷１＝３６分

答え　３６分

（２）

「入れた水の総量－出した水の総量＝満水時の水量」なので、

（Ｂ＋Ｃ）×４分－Ａ×１分＝３６

です。

（１）より

Ａ－Ｂ＝２　…（あ）

Ａ－Ｃ＝３　…（い）

なので、

（あ）＋（い）は

Ａ×２－（Ｂ＋Ｃ）＝５　→　Ｂ＋Ｃ＝Ａ×２－５　…（う）

です。

（う）をはじめの式に代入します。

（Ｂ＋Ｃ）×４分－Ａ×１分＝３６

（Ａ×２－５）×４分－Ａ×１分＝３６

Ａ×８－２０－Ａ×１＝３６

Ａ＝（３６＋２０）÷（８－１）＝８

３６÷８＝４.５分

答え　４分３０秒

本問は、応用レベルのニュートン算です。

（１）では条件からＢとＣの差を見つけることが、（２）では消去算の考え方が、それぞれポイントになっています。

今回は２０２４年度に男子中の入試で出された「ニュートン算」の問題をご紹介しました。

既習であれば、１問目と２問目を正解できるか確認をしてみましょう。

もし、間違えるようでしたら、仕事算の問題で、単位あたりの仕事量を１とする解き方と、全体の仕事量を時間などの最小公倍数とする解き方をおさらいします。

解き方が確認できましたら、それに線分図や水そう図を組み合わせるなどして、ニュートン算の問題にチャレンジしましょう。