「第７０３回　男子中の入試問題　比と割合 ３」

２０２４年度に男子中の入試で出された「比と割合」の問題について考えています。

３回目の今回は「食塩水の濃さ」を取り扱っていきます。

１問目は基本レベルの問題です。

【問題】８％の食塩水８０ｇ、６％の食塩水１２０ｇ、４％の食塩水１５０ｇ、水□ｇを混ぜて５％の食塩水を作りました。□にあてはまる数を求めなさい。

（海城中学校　２０２４年　問題１－（２））

【考え方】

食塩水の問題は「塩分数」を使って整理すると、方針を立てやすくなります。

８０ｇ×８/１００＝６.４ｇ

１２０ｇ×６/１００＝７.２ｇ

１５０ｇ×４/１００＝６ｇ

加える□ｇの水に食塩は含まれていませんから、次のように整理できます。

■ｇ＝６.４ｇ＋７.２ｇ＋６ｇ＋０ｇ＝１９.６ｇ

「食塩の重さ÷濃さ＝食塩水の重さ（食塩水の３公式）」を利用できることがわかります。

△ｇ＝１９.６ｇ÷５/１００＝３９２ｇ

よって

８０ｇ＋１２０ｇ＋１５０ｇ＋□ｇ＝３９２ｇ　→　□ｇ＝３９２ｇ－３５０ｇ＝４２ｇ

です。

答え　４２

本問は「塩分数」を用いて条件を整理し、食塩水の３公式（食塩水の重さ×濃さ＝食塩の重さ など）だけで解けるかどうかを判断する「食塩水の濃さ」の基本が確認できる問題です。

２問目も基本の問題です。

【問題】６％の食塩水５００ｇから水を何ｇか蒸発させた後、蒸発させた水と同じ量の食塩を入れてかき混ぜました。できた食塩水の濃度が１０％のとき、蒸発させた水は何ｇでしたか。

（獨協中学校　２０２４年　問題１－（４））

【考え方】

条件を「塩分数」で整理します。

５００ｇ×６/１００＝３０ｇ

蒸発する□ｇの水に食塩は含まれていません。

また、加える食塩は「濃さが１００％の食塩水」と考えられますから、次のように整理できます。

蒸発させた水と同じ量の食塩を加えても食塩水の重さは変わりませんから、△ｇ＝５００ｇです。

「食塩水の重さ×濃さ＝食塩の重さ（食塩水の３公式）」を利用できます。

■＝５００ｇ×１０/１００＝５０ｇ

３０ｇ－０ｇ＋□ｇ＝５０ｇ　→　□ｇ＝５０ｇ－３０ｇ＝２０ｇ

答え　２０ｇ

本問は食塩水の重さが変化しないことを利用する問題です。

「食塩水の濃さ」の問題では、このような条件に着目することも大切なポイントです。

では、３問目を見ていきましょう。

【問題】食塩水Ａと食塩水Ｂがあり、ＡとＢを同じ量ずつ混ぜると８％の食塩水ができ、Ａを１００ｇとＢを２００ｇ混ぜると９％の食塩水ができます。このとき、食塩水Ａの濃さは何％ですか。

（城北中学校　２０２４年　問題２－（２）　問題文一部変更）

【考え方】

食塩水Ａと食塩水Ｂを同じ量ずつ混ぜると８％の食塩水ができるので、Ａを１００ｇとＢを１００ｇ混ぜてできる食塩水は８％です。

１００ｇ＋１００ｇ＝２００ｇ　…　食塩水の重さ

２００ｇ×８/１００＝１６ｇ　…　食塩水の重さ

これにＢを１００ｇ加えると、Ａを１００ｇとＢを２００ｇ混ぜたことと同じになりますので、できる食塩水の濃さは９％です。

△ｇ＝２００ｇ＋１００ｇ＝３００ｇ

▲ｇ＝３００ｇ×９/１００＝２７ｇ

１６ｇ＋■ｇ＝２７ｇ　→　■ｇ＝２７ｇ－１６ｇ＝１１ｇ

□％＝１１ｇ÷１００ｇ×１００＝１１％　…　Ｂの濃さ

Ａ１００ｇとＢ２００ｇを混ぜると９％の食塩水ができるので

◎ｇ＝２００ｇ×１１/１００＝２２ｇ

●ｇ＋２２ｇ＝２７ｇ　→　●ｇ＝２７ｇ－２２ｇ＝５ｇ

○％＝５ｇ÷１００ｇ×１００＝５％

答え　５％

本問は、文中の「同じ量ずつ混ぜると８％の食塩水ができ」というヒントを利用して解くことができる問題です。

解答例ではこのヒントと「塩分数」から答えを求めましたが、「混ぜる食塩水の重さの違いによってできる食塩水の濃さが異なる問題は、天びん図に整理することができる」という知識があると、次のように解くこともできます。

（②％＋①％）÷２－①％＝９％－８％　→　①％＝１％÷０.５＝２％

９％－２％×２＝５％

最後は「混ぜる」がテーマの問題です。

【問題】３種類のコーヒー豆Ａ、Ｂ、Ｃがあります。Ａは１００ｇあたり４２０円、Ｂは１００ｇあたり５５０円、Ｃは１００ｇあたり６５０円です。次の問いに答えなさい。

（１）ＡとＢとＣを同じ割合で混ぜたコーヒー豆は、１００ｇあたりいくらになりますか。

（２）ＡとＣをある割合で混ぜたら、５００ｇで２５６０円でした。ＡとＣの重さの比を求めなさい。

（３）ＢとＣを２：３の割合で混ぜ、そこにＡを加えたら５００ｇで２５７５円でした。ＡとＣの重さの比を求めなさい。

（立教新座中学校　２０２４年　問題３　問題（４）省略）

【考え方】

（１）Ａ、Ｂ、Ｃを１００ｇずつ加えたと仮定します。

１００ｇ＋１００ｇ＋１００ｇ＝３００ｇ

４２０円＋５５０円＋６５０円＝１６２０円

１６２０円÷３００ｇ×１００＝５４０円

答え　５４０円

（別解）

例えば、「Ａは１００ｇあたり４２０円」を「食塩水Ａの濃さは４２０÷１００＝４.２％」に置き換えると、食塩水の問題として解くこともできます。

１６.２ｇ÷３００ｇ×１００＝５.４％　→　５４０円

（２）

つるかめ算です。

４２０円÷１００ｇ＝４.２円　…　Ａ１ｇあたりの値段

６５０円÷１００ｇ＝６.５円　…　Ｃ１ｇあたりの値段

（２５６０円－４.２円×５００ｇ）÷（６.５円－４.２円）＝２００ｇ　…　Ｃの重さ

５００ｇ－２００ｇ＝３００ｇ　…　Ａの重さ

３００ｇ：２００ｇ＝３：２

答え　３：２

（別解）

食塩水の問題に置き換えます。

６５０÷１００＝６.５％　…　Ｃ

２５６０÷５００＝５.１２％

５.１２％－４.２％＝０.９２％

６.５％－５.１２％＝１.３８％

ですから、次のような天びん図をかくことができます。

０.９２％：１.３８％＝２：３　…　うでの長さの比

うでの長さの比と重さの比は逆比の関係ですから、□ｇ：■ｇ＝３：２です。

（３）

Ｂ２００ｇとＣ３００ｇを混ぜたと仮定します。

２００ｇ＋３００ｇ＝５００ｇ

５.５円×２００ｇ＋６.５円×３００ｇ＝３０５０円

３０５０円÷５００ｇ＝６.１円　…　ＢとＣを２：３で混ぜたときの１ｇあたりの値段

つるかめ算です。

（６.１円×５００ｇ－２５７５円）÷（６.１円－４.２円）＝２５０ｇ　…　Ａの重さ

（５００ｇ－２５０ｇ）×３/（２＋３）＝１５０ｇ　…　Ｃの重さ

２５０ｇ：１５０ｇ＝５：３

答え　５：３

（別解）

次のような天びん図から求めることもできます。

③％＋②％＝６.５％－５.５％　→　①％＝０.２％

△％＝５.５％＋０.２％×３＝６.１％

２５７５÷５００＝５.１５％

（５.１５－４.２）：（６.１－５.１５）＝１：１　→　▽ｇ：▼ｇ＝１：１

５００ｇ×１/（１＋１）＝２５０ｇ　…　Ａの重さ

本問は、つるかめ算などを使って解くことができる「混ぜる」がテーマの問題ですが、別解のように食塩水の問題に置き換えることもできる問題です。

解答例の解き方ができるときは、別解の方法にもチャレンジしてみましょう。

今回は、２０２４年度に男子中の入試で出された「食塩水の濃さ」の問題をご紹介しました。

３問目までは食塩水の定番問題ですから、既習範囲であればすべて正解できるか、確かめてみましょう。