「第７０２回　男子中の入試問題　比と割合 ２」

前回から、２０２４年度に男子中の入試で出された「比と割合」を取り扱っています。

２回目の今回は「相当算」、「倍数算」、「年令算」の問題を見ていきます。

１問目は「相当算」です。

【問題】兄と弟で７００円のお守りをおそろいで買うことにしました。しかし、弟の所持金が足りなかったため、兄が弟に３００円をわたしたところ、２人ともお守りを買うことができました。そして、買った後の兄と弟の所持金の比は５：２になりました。２人の最初の所持金の合計が２１００円のとき、兄の最初の所持金を求めなさい。

（明治大学付属中野中学校　２０２４年　問題２－（１））

【考え方】

条件を線分図に整理します。

兄から弟に３００円を渡しても２人の所持金の合計は変化しませんから、お守りを買った後の残金の合計は

２１００円－７００円×２＝７００円

です。

このときの兄の残金を⑤円、弟の残金を②円とします。

⑤円＋②円＝７００円

①円＝７００円÷（５＋２）＝１００円

よって、兄の残金は

⑤円＝１００円×５＝５００円

とわかりますから、最初の所持金は

５００円＋７００円＋３００円＝１５００円

です。

答え　１５００円

本問は、「やりとり」と「相当算」の考え方が確認できる問題です。

なお、解答例では①解法によって兄の残金を求めましたが、兄の残金を

７００円×５/（５＋２）＝５００円

のように比例配分を用いてもＯＫです。

２問目は「倍数変化算」です。

【問題】Ａ君とＢ君のはじめに持っていた金額の比は５：２でした。Ａ君は１５００円、Ｂ君は２４０円使ったので、Ａ君とＢ君の残った金額の比は７：４になりました。Ａ君がはじめに持っていた金額は何円ですか。ただし、消費税は考えないものとします。

（東京都市大学付属中学校　２０２４年　問題１－（３）　問題文一部変更）

【考え方】

はじめの比が５：２、使った金額の比が１５００：２４０＝５０：８、残金の比が７：４のように、３つの比がすべて異なる倍数変化算です。

倍数変化算は線分図や比例式を利用して解くことができます。

ここでは比例式を用いることにします。

Ａ君がはじめに持っていた金額を求めますから、Ａ君がはじめに持っていた金額を⑤円、Ｂ君がはじめに持っていた金額を②円とします。

（⑤－１５００）円：（②－２４０円）＝７：４

内項の積と外項の積は等しいので

（②－２４０）円×７＝（⑤－１５００）円×４

です。

分配のきまりを使って計算をします。

②円×７－２４０円×７＝⑤円×４－１５００円×４

⑭円－１６８０円＝⑳円－６０００円

①＝（６０００円－１６８０円）÷（２０－１４）＝７２０円

⑤＝７２０円×５＝３６００円

答え　３６００円

本問は倍数変化算の基本が確認できる問題です。

①の値を間違えるようでしたら、下のような線分図をかいて考えましょう。

３問目は「年令算」です。

※ 問題文の「齢」と「歳」の表記は原文通りとし、解説と解答では「令」と「才」で表記しています。

【問題】今、私は１５歳で母は５１歳です。母の年齢が私の年齢の５倍だったのは今から何年前ですか。

（学習院中等科　２０２４年　問題２－（３）　問題文一部変更）

【考え方】

私と母の年令の差は常に同じですから、５倍であったときも年令の差は

５１才－１５才＝３６才

です。

このことを線分図に整理します。

３６才÷（５－１）＝９才　…　１にあたる年令

母の年令が私の年令の５倍だったのは私が９才のときですから、今から

１５才－９才＝６年前

のことです。

答え　６年前

本問は、２人の年令の差は変わらないという年令算の基本が確認できる問題です。

解答例では線分図に整理しましたが、次のような表を利用してもＯＫです。

では、今回の最後の問題です。

【問題】両親と息子２人がいます。現在、父と長男の年齢の和は４４です。２０年後に父の年齢は長男の年齢の２倍となります。次の問いに答えなさい。

（１） 現在の父と長男の年齢を求めなさい。

（２） 現在、母と次男の年齢の比は８：１です。［あ］年後、父と長男の年齢の和と母と次男の年齢の和の比が７：６となり、次男が１０才になります。［あ］にあてはまる数を答えなさい。

（暁星中学校　２０２４年　問題２　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

条件を表に整理します。

父の年令も長男の年令も２０年後には現在よりも２０才増えますから、年令の和は

２０才×２＝４０才

増えます。

★＝４４才＋４０才＝８４才

８４才×２/（２＋１）＝５６才　…　２０年後の父の年令

５６才－２０才＝３６才　…　現在の父の年令

４４才－３６才＝８才　…　現在の長男の年令

答え　父　３６才、長男　８才

（２）条件を表に整理します。

父と長男、母と次男はどちらも２人ずつなので「年令の和」の差は常に同じで、［あ］年後の様子を比で表したときの父と長男の年令の和が「７」、母と次男の年令の和が「６」で父と長男の年令の和の方が母と次男の年令の和よりも大きいですから、現在も父と長男の年令の和の方が母と次男の年令の和よりも大きいです。

現在、母の年令と次男の年令と２人の年令の和の比が８：１：９ですから、母と次男の年令の和は４４より小さい９の倍数です。

母と次男の年令の和が４４才に近い９の倍数の３６才のときについて調べてみます。

３６才×８/９＝３２才　…　現在の母の年令

３６才－３２才＝４才　…　現在の次男の年令

１０才－４才＝６年後

上の表のように、「母と次男の年令の和が３６才」は「父と長男の年齢の和と母と次男の年齢の和の比が７：６」という条件を満たしますから、あ＝６ です。

答え　６

本問の（１）は「２０年後に２人の年令の和が４０増える」こと、（２）は年令が整数であることがポイントです。

なお、（２）は計算がやや複雑になりますが、消去算を用いて解くことも可能です。

今回は、２０２４年度に男子中の入試で出された「相当算」、「倍数算」、「年令算」の問題をご紹介しました。

もし、正解できない問題があれば、線分図や表などを用いた条件整理ができるか、①解法や比例式、比例配分、分配のきまりなどを正確に利用できるかを確認し、課題を克服していきましょう。