「第６９９回　男子中の入試問題　数の性質 ４」

これまで２０２４年度に男子中の入試で出された「数の性質」の問題を見ています。

今回も前回に続いて「規則性」について考えていきます。

１問目は、「数表」の定番問題です。

【問題】下の図のように１から順に整数が並んでいます。１０４は何列目にありますか。

（東京都市大学付属中学校　２０２４年　問題１－（５）　問題文一部変更）

【考え方】

整数を

１

２→３→４

５→６→７→８→９

１０→１１→１２→１３→１４→１５→１６

 のように並べていくと、並んだ整数が正方形の形になる「正方形タイプの数表」です。

この数表の１行目、２列目にある「４」を（１、２）＝４ のように表すとすると、

（１、１）＝１

（１、２）＝４

（１、３）＝９

（１、４）＝１６

のように、（１、□）＝□×□ となっています。

（１、１０）＝１０×１０＝１００

（１、１１）＝１１×１１＝１２１

ですから、１０４は次の位置にあることが分かります。

答え　４列目

本問は、１からの整数が順に並ぶ正方形タイプの数表は

① 平方数に着目する

② （一部を省略した）数表をかく

という基本の考え方が確認できる問題です。

２問目は、大問形式の「数表」の問題です。

【問題】図のように、ある規則にしたがって整数を１から順に並べ、上から○行目、左から□列目にある数を（○、□）と表すことにします。例えば、上から２行目、左から３列目にある数は８なので、（２、３）＝８です。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）（７、７）で表される数を求めなさい。

（２）（Ｘ、Ｘ）＝２２１のとき、Ｘにあてはまる数を求めなさい。

１行目にも１列目にもない数を１つ選び、その数の上下左右にある５つの数を小さい順にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅとします。例えば１３を選ぶと、Ａは８、Ｂは９、Ｃは１３、Ｄは１８、Ｅは１９です。

（３）Ｃが７０のとき、Ａ＋Ｅを求めなさい。

（４）Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＝１３３２のとき、Ｃを求めなさい。

（５）Ｃが（２０、２４）で表されるとき、Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅを求めなさい。

（攻玉社中学校　２０２４年　問題３）

【考え方】

（１）

与えられた表の対角線上に並ぶ整数に着目します。

（１、１）＝１

（２、２）＝５

（３、３）＝１３

（４、４）＝２５

（５、５）＝４１

これらの数を表に整理します。

並べる整数の差を見ると４ずつ大きくなっていますので、続きは次のようになります。

答え　８５

（２）

（１）より、

（Ｘ、Ｘ）＝２２１＝１＋（４＋８＋１２＋…＋■）

のように表せます。

４＋８＋１２＋…＋■＝２２１－１＝２２０

なので、この式を４で割ると

１＋２＋３＋…＋■/４＝５５

となります。

１から１０までの整数の和が５５ですから、

■/４＝１０　→　■＝１０×４＝４０

とわかります。

対角線上に並ぶ整数の差は４の倍数と考えることもできますから、

４０÷４＝１０

より、次のような表になります。

よって、Ｘ＝１１です。

答え　１１

（３）

数表で例を確認します。

Ｃは１３で、

Ａ＋Ｅ＝８＋１９＝２７

よりも１小さい２６の半分となっています。

Ｃを他の数にして調べても、

Ｃ＝（Ａ＋Ｅ－１）÷２　→　Ａ＋Ｅ＝Ｃ×２＋１

という関係になっていますので、Ｃが７０のときは、

Ａ＋Ｅ＝７０×２＋１＝１４１

とわかります。

答え　１４１

（４）

（３）のときと同じように調べると、

Ｃ＝（Ｂ＋Ｄ－１）÷２　→　Ｂ＋Ｄ＝Ｃ×２＋１

となってます。

ですから、

Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ

＝（Ａ＋Ｅ）＋（Ｂ＋Ｄ）＋Ｃ

＝（Ｃ×２＋１）＋（Ｃ×２＋１）＋Ｃ

＝Ｃ×５＋２

となります。

Ｃ×５＋２＝１３３２　→　Ｃ＝（１３３２－２）÷５＝２６６

答え　２６６

（５）

各行に並ぶ整数の増え方について調べます。

表から○行に並ぶ整数の増え方は、○から始まる公差が１の等差数列になっていることがわかります。

ですから、２０行目に並ぶ整数の増え方は２０から始まる公差が１の等差数列です。

（２）より、

（２０、２０）

＝１＋４＋８＋１２＋…＋４×（２０－１）

＝１＋（４＋７６）×１９÷２

＝７６１

ですから、（２０、２４）にあるＣは

７６１＋３９＋４０＋４１＋４２＝９２３

です。

（４）より、

Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＝Ｃ×５＋２

なので、Ｃ＝９２３のとき、

Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＝９２３×５＋２＝４６１７

です。

答え　４６１７

本問は、誘導に従って解き進めていく問題です。

数表は１、２→３、４→５→６、７→８→９→１０、… と三角形の形に整数が並ぶ「三角形タイプの数表」で、前問の「正方形タイプの数表」よりも難しい問題ですが、与えられた５マス×５マスの表の対角線上に並ぶ整数だけをあらためて表にして見やすくすることや、十字型に並んだ５つの整数をいくつかの場合について調べることで、それぞれの規則性を見つけることが可能です。

今回は、２０２４年度に男子中で出された「数表」の問題をご紹介しました。

数表の問題を解くときは、「正方形タイプは平方数に着目する」や「三角形タイプは三角数に着目する」のような基本の知識や「対角線上の数に着目」や「隣り合う数に着目」などの応用レベルの知識などが必要です。

さらに、２問目の後半であったように「少し調べてみる」という着想も重要なポイントです。

数表の問題が苦手なときは、まずは一行問題レベルの定番問題で知識の定着に取り組み、定番問題が正解できるようになった後に大問形式の問題にステップアップしましょう。