第698回 男子中の入試問題 数の性質 3
「第６９８回 男子中の入試問題 数の性質 ３」
２０２４年度に男子中で出された入試問題について考えています。
前回は「数の性質」の中から「約数と倍数」の問題を見ました。
今回と次回は「規則性」の問題を取り扱います。
１問目は、基本レベルの問題です。
【問題】あるきまりにしたがって下のように分数を並べました。
このとき、分子と分母の差が１０１になる分数はいくつですか。
（本郷中学校 ２０２４年 問題２－（３））
【考え方】
問われている「差」を表に整理します。
表より「分子と分母の差＝番目＋１」とわかりますから、差が１０１となる分数は
１０１－１＝１００
より、１００番目の数です。
分子は１から始まる公差が３の等差数列です。
等差数列の□番目の数は 初項＋公差×（□－１）で求められますから、１００番目の分数の分子は
１＋３×（１００－１）＝２９８
です。
２９８＋１０１＝３９９ … 分母
よって、求める分数は ２９８/３９９ です。
答え ２９８/３９９
本問は、表を使った規則性の見つけ方と等差数列の□番目の数の求め方が確認できる問題です。
上記のように、並んでいる数に番号をつけて表に整理すると、規則性やその計算方法が見つけやすくなります。
２問目も、分数の規則性に関する問題です。
【問題】次のように、ある規則にしたがって数を並べます。
次の問いに答えなさい。
（１）５０番目の数はいくつですか。
（２）８回目にあらわれる １/２ は何番目の数ですか。
（３）１２回目にあらわれる ２/３ は何番目の数ですか。
（鎌倉学園中学校 ２０２４年 問題４）
【考え方】
（１）
分数の列は、次のように区切ることができます。
このように区切ると、第□群には、１と分母が（□＋１）で１より小さい分数が、合わせて（□＋１）個並んでいます。
５０＝２＋３＋ … ＋９＋６
ですから、５０番目の分数は第９群の６番目の数です。
６－１＝５ … 分子
９＋１＝１０ … 分母
５/１０＝１/２
答え １/２
（２）
（１）からも分かるように、「あらわれる１/２」には、約分すると １/２ になる分数も含まれます。
１/２＝２/４＝３/６＝…＝８/１６
より、８回目にあらわれる １/２ は ８/１６ を約分したものです。
８＋１＝９
１６－１＝１５
なので、８/１６ は第１５群の９番目の数です。
第１群から第１４群までに並ぶ数の個数は２個、３個、４個、…、１５個で、これは２から始まる公差が１の等差数列です。
等差数列の和は（初項＋末項）×項数÷２ で求められますから、第１群から第１４群までに並ぶ数の個数は
（２＋１５）×１４÷２＝１１９
より、１１９個です。
よって、第１５群の９番目の数は
１１９＋９＝１２８
より、１２８番目の数です。
答え １２８番目
（３）
（２）と同様に考えます。
２/３ … １回目
（２×２）/（３×２）＝４/６… ２回目
（２×３）/（３×３）＝６/９ … ３回目
・
・
・
（２×１２）/（３×１２）＝２４/３６ … １２回目
２４＋１＝２５
３６－１＝３５
より、１２回目にあらわれる ２/３ は第３５群の２５番目の数です。
（２＋３５）×３４÷２＋２５＝６５４
答え ６５４番目
本問は、規則的に区切ることのできる数列（群数列）と等差数列の和の求め方が確認できる問題です。
この問題も前問と同じように、つけた「番号」と規則性を関連付けるとミスを防ぎやすくなります。
３問目は、「図形の規則性」の問題です。
【問題】下の図のように、正方形をつなげる作業をくり返します。１回目の作業では１辺１㎝の正方形に１辺１㎝の正方形をつなげ、２回目の作業では１辺２㎝の正方形をつなげ、３回目の作業では１辺３㎝の正方形をつなげ、４回目の作業では１辺５㎝の正方形をつなげます。このように、正方形を右、下、右、下、… の順につなげる作業をくり返すとき、次の問いに答えなさい。
（１）７回目の作業でつなげた正方形の１辺の長さは何㎝ですか。
（２）７回目の作業を終えてできた長方形の面積と、７回目の作業でつなげた正方形の面積の差は何㎠ですか。
（３）作業を終えてできた長方形の面積と、作業の最後につなげた正方形の面積の差が３３５５２㎠となるのは、何回目の作業を終えたときですか。
（獨協中学校 ２０２４年 問題３）
【考え方】
（１）
作業の様子を表に整理します。
表を見ると、奇数回目につなぐ正方形の１辺は直前の長方形の縦の長さと同じ、偶数回目につなぐ正方形の１辺は直前の長方形の横の長さと同じです。
また、奇数回目にできた長方形の縦は直前の長方形の縦と同じで横は直前の長方形の縦と横の和と同じ、偶数回目にできた長方形の縦は直前の長方形の縦と横の和と同じで横は直前の長方形の横と同じです。
この規則に従って、５～７回目も表に整理します。
答え ２１㎝
（２）
１～４回目の様子を整理した（１）の表を見ると、□回目の面積の差はその直前にできた長方形の面積と同じです。
ですから、７回目の作業を終えてできた長方形の面積と、７回目の作業でつなげた正方形の面積の差は、６回目にできた長方形の面積の
２１㎝×１３㎝＝２７３㎠
と同じです。
答え ２７３㎠
（３）
（１）と（２）でわかったことを利用します。
２１×３４＝７１４㎠ … ８回目の作業を終えたときの差
５５×３４＝１８７０㎠ … ９回目の作業を終えたときの差
５５×８９＝４８９５㎠ … １０回目の作業を終えたときの差
１４４×８９＝１２８１６㎠ … １１回目の作業を終えたときの差
１４４×２３３＝３３５５２㎠ … １２回目の作業を終えたときの差
答え １２回目
本問は、図形の規則性を表に整理して解くという考え方が確認できる問題です。
次第に大きくなる図形をかくことはできませんが、表に整理することで規則を発見し、それを利用して解くことができます。
今回は、２０２４年度に男子中の入試で出された「規則性」の問題をご紹介しました。
等差数列の公式は規則性の問題でよく利用しますので、いつでも正確に計算できるようにしておきましょう。
また、表に整理すると規則性が見つけやすくなることも、大切なポイントとして覚えておきましょう。
