第691回 共学中の入試問題 場合の数 1
「第６９１回 共学中の入試問題 場合の数 １」
前回まで、近年の共学中の入試で出された「立体図形」の問題を取り扱ってきました。
今回からは「場合の数」について考えていきます。
１回目の今回は、基本レベルの問題を見ていきます。
１問目は「選び方」の問題です。
【問題】６人のグループの中から班長を１人、副班長を２人選びます。選び方は全部で何通りありますか。
（早稲田実業中等部 ２０２４年 問題１－（２））
【考え方】
はじめに、６人にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆの名前を付けます。
次に、班長がＡになるときの副班長の選び方を考えます。
班長がＢ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆのときにも、同じ形の樹形図をかけますから、全部で
１０通り×６＝６０通り
です。
答え ６０通り
本問は、選び方の基本が確認できる問題です。
樹形図の他に、次のような書き出し方もあります。
や
など
また、班長の選び方が６通り、副班長の選び方が
５Ｃ２＝（５×４）/（２×１）＝１０通り
なので、
６通り×１０通り＝６０通り
と、計算で求めてもＯＫです。
では、２問目です。
【問題】下の図のような、１列目と２列目は２人がけ、３列目は３人がけの７人乗りの車に、大人３人、子ども４人が乗るときの座り方を考えます。運転席には大人が座り、各列とも子どもが座る隣りに最低１人の大人が座るとき、座り方は何通りあるか答えなさい。
（市川中学校 ２０２４年 問題１－（４） 問題文一部変更）
【考え方】
はじめに、人数が少ない大人の席について考えます。
「大人３人」、「運転席には大人」、「子どもが座る隣りに最低１人の大人」という条件から、大人の席は次の２つのパターンがあります。
各パターンにおいて、子どもは大人が座る席以外に座ります。
次に、大人が座る席をＡ、Ｂ、Ｃ、子どもが座る席をア、イ、ウ、エとします。
それぞれのパターンにおいて、大人３人の座り方は、Ａが３通り、Ｂが２通り、Ｃが１通りですから、
３通り×２通り×１通り＝６通り
です。
また、子ども４人の座り方は、アが４通り、イが３通り、ウが２通り、エが１通りですから、
４通り×３通り×２通り×１通り＝２４通り
です。
ですから、全部で
６通り×２４通り×２パターン＝２８８通り
の座り方があります。
答え ２８８通り
本問は、数が少ない方を先に着目するという考え方が確認できる問題です。
なお、座席の代わりに、大人にＡ、Ｂ、Ｃ、子どもにア、イ、ウ、エと名前を付けても構いません。
３問目は、「図形の個数」に関する問題です。
【問題】円周上に５つの異なる点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅがあります。このうち３つの点を選んで三角形を作ると、三角形は全部で何個できますか。
（芝国際中学校 ２０２４年 問題２－（５））
【考え方】
例えば、次の図のように３点Ａ、Ｂ、Ｃを選んで三角形を作ると、使わない点としてＤ、Ｅのが２個残ります。
ですから、三角形を作る３点の選び方と使わない２個の選び方は同じだけあるとわかります。
使わない２点の選び方は、１問目のように樹形図などをかいてもよいですし、
５Ｃ２＝（５×４）/（２×１）＝１０通り
のように計算で求めることもできます。
答え １０個
本問は、「５点から３点を選ぶ」ことと、「５点から残りの２点を選ぶ」ことが同じという考え方が確認できる問題です。
引き続き、４問目を見ていきます。
【問題】図のように、円周上に８個の点があります。これらの点から４個の点を選んで直線で結び四角形を作ります。このようにしてできる四角形は全部で何個ありますか。
（三田国際学園中学校 ２０２４年 問題１－（２） 問題文一部変更）
【考え方】
例えば、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４個の点を選んで四角形ＡＢＣＤを作る場合を考えます。
このとき、４個の点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを並べる順序は次の２４通りがあります。
（４通り×３通り×２通り×１通り＝２４通りのように計算で求めることもできます。）
このように、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４個の点の並べ方は２４通りありますが、どの順序で並べてもできる四角形は四角形ＡＢＣＤの１個です。
ですから、８個の点から４個の点を順に並べる方法は
８通り×７通り×６通り×５通り＝１６８０通り
ありますが、できる四角形の個数は
１６８０通り÷２４通り＝７０個
です。
答え ７０個
本問は、並べる順序を区別しない場合の考え方が確認できる問題です。
８Ｃ４＝（８×７×６×５）/（４×３×２×１）＝７０通り
のように計算で求めてもＯＫです。
今回は、２０２４年度に共学中の入試で出された、「場合の数」の基本問題をご紹介しました。
いずれも大切な考え方ですから、もし、正解できないときは、樹形図などを用いた「書き出し」、「並べ方」や「選び方」の計算方法や計算式の理由などを確認しましょう。
