「第６９０回　共学中の入試問題　立体図形 ５」

近年の共学中の入試で出された「立体図形」について考えています。

前回は「立体の切断」の応用問題と「水の入った容器を傾ける」問題を見ました。

今回は「水問題」を取り扱います。

１問目は、基本レベルの問題です。

【問題】１辺が５㎝の正方形を底面とする直方体の容器に水を入れ、鉄球を完全に沈めたところ、水があふれ出ることはなく、水位が２㎝上昇しました。１㎤あたりの鉄の重さを７.９ｇとすると、この鉄球の重さは何ｇですか。

（慶應義塾中等部　２０２４年　問題２－（３）　問題文一部変更）

【考え方】

条件を図で表してみます。

水の中に物を入れる問題には、「高い方の水面を延長する」という解き方があります。

図より、

水＋★（すき間）＝水＋鉄球

ですから、鉄球の体積は★（すき間）の体積と同じです。

５㎝×５㎝×２㎝＝５０㎤　…　★の体積＝鉄球の体積

７.９ｇ/㎤×５０㎤＝３９５ｇ

答え　３９５ｇ

本問は、水の中に物を入れる場合の基本が確認できる問題です。

なお、鉄球を入れる前と入れた後を１つの図に表す方法でもＯＫです。

２問目は、水とグラフの問題です。

【問題】図１のように、縦１５㎝、横４０㎝、高さ３２㎝の直方体の水そうに、縦１５㎝、横８㎝の直方体のブロックと、縦１５㎝、横２０㎝の直方体のブロックをすき間なく敷き詰めました。水道Ａから底面い□に向かって毎秒９０ｍＬの割合で水を入れます。水道Ｂからは底面ろ□に向かって一定の割合で水を入れます。図２は、水道Ａだけを使ってこの水そうを満水にしたときの、時間と底面い□からの水面の高さの関係を表すグラフです。図３は、水道Ｂだけを使ってこの水そうを満水にしたときの、時間と底面ろ□からの水面の高さの関係を表すグラフです。このとき、次の各問いに答えなさい。

（１）ア□にあてはまる数はいくつですか。

（２）水道Ｂから入れる水は毎秒何ｍＬですか。

（３）はじめに水道Ａだけを使って何秒間か水を入れて、途中から水道Ａと水道Ｂの両方を使うと、水そうが満水になるまでに１２５秒かかりました。このとき、水道Ａと水道Ｂの両方を使った時間は何秒間ですか。

（山手学院中学校　２０２４年　問題７　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

水道Ａだけを使って水そうを満水する様子を、水そうを正面から見た図に整理します。

４０～７０秒までに入る水の量（図の右側の水）は

９０㎤/秒×（７０秒－４０秒）＝２７００㎤

です。

ですから、この水の深さア□は

２７００㎤÷（１５㎝×２０㎝）＝９㎝

です。

答え　９

（別解）

３２㎝－２１㎝＝１１㎝　…　ブロック（右）の高さ

２０㎝－１１㎝＝９㎝

（２）

水道Ｂだけを使って水そうを満水する様子を、水そうを正面から見た図に整理します。

１２６秒後から２７０秒後までに入る水の量は

１５㎝×４０㎝×（３２㎝－２０㎝）＝７２００㎤

です。

水道Ｂだけでこの水の量を入れるのに

２７０秒－１２６秒＝１４４秒

かかりますから、水道Ｂから入れる水の量は

７２００㎤÷１４４秒＝５０㎤/秒　→　５０ｍＬ/秒

です。

答え　毎秒５０ｍＬ

（３）

１５㎝×４０㎝×３２㎝＝１９２００㎤　…　水そうの容積

１５㎝×８㎝×２０㎝＋１５㎝×２０㎝×（２０㎝－９㎝）＝５７００㎤　…　２つのブロックの体積の和

１９２００㎤－５７００㎤＝１３５００㎤　…　水そうに入れる水の量

水道Ａは水そうが空のときから満水になるまで使い続けますから、水道Ａから入る水の量は

９０㎤/秒×１２５秒＝１１２５０㎤

です。

よって、水道Ｂを使う時間は

（１３５００㎤－１１２５０㎤）÷５０㎤/秒＝４５秒

です。

答え　４５秒間

本問は、水問題のグラフの読み取りとその利用方法が確認できる問題です。

問題文は長いのですが、基本に従って水そうを正面から見た図に整理すると、着眼する点を見つけることができます。

最後は、応用レベルの問題です。

【問題】図のような空の水そうに、一定の割合で水が入る蛇口Ａと一定の割合で水が出る蛇口Ｂを使って、次の２つの操作をしました。

【操作 １】はじめに蛇口Ａを開き、水そうの７/１２の高さまで水が入ったところで蛇口Ｂを開きました。その後、水そうが満水になったところで蛇口Ａを閉じると、水を入れ始めてから８０分後に水そうは空になりました。

【操作 ２】はじめに蛇口Ａを開き、水そうの３/４の高さまで水が入ったところで蛇口Ｂを開きました。その後、水そうが満水になったところで蛇口Ａを閉じると、水を入れ始めてから７２分後に水そうは空になりました。

（１）操作１と操作２で蛇口Ａだけを開く時間の差が４分のとき、１分間に蛇口Ａから入れる水の量と蛇口Ｂから出る水の量の比を、最も簡単な整数の比で答えなさい。

（２）操作１において、水そうの７/１２の高さまで水が入ったところで、たて４０㎝、横４０㎝、高さ５０㎝の直方体のおもりを完全に沈めて、蛇口Ｂを開けました。その後、操作を続けて、空になるまでの時間を調べたところ、おもりを入れなかったときと比べて１５分短縮されました。この水そうの容積は何Ｌですか。

（青山学院中等部　２０２４年　問題１４　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

水そうの高さを１２として、操作１、２の様子をグラフに整理してみます。

１２×７/１２＝７　…　操作１で蛇口Bを開くときの水の高さ

１２×３/４＝９　…　操作２で蛇口Bを開くときの水の高さ

グラフより、蛇口Ａだけで水を４分間入れると、水の深さが

９－７＝２

増えるとわかります。

２÷４分＝１/２ /分　…　蛇口Ａから１分間に入る水の深さ

ですから、操作１で蛇口Ａだけを使った時間は

７÷１/２ /分＝１４（分）

です。

また、蛇口Ａと蛇口Ｂを使って入れた水の深さは、操作１では

１２－７＝５

操作２では

１２－９＝３

ですから、かかる時間の比は５：３です。

さらに、水色部分が平行四辺形ですから、

⑤＝４分＋③＋（８０分－７２分）　→　①＝６分

です。

以上のことから、操作１で満水になるのは

１４分＋６分×５＝４４分後

とわかりますから、操作１で蛇口Ｂだけを使って満水の水そうを空にするのにかかる時間は

８０分－４４分＝３６分

です。

１２÷３６分＝１/３ /分　…　蛇口Ｂから１分間に出る水の深さ

１/２ /分：１/３ /分＝３：２

答え　３：２

（２）

条件を図に整理します。

おもりを入れるとその体積と同じだけ水の出し入れがなくなりますから、１４分後から４４分後（蛇口Ａから水を入れながら蛇口Ｂから水を出す時間）までと、４４分後から８０分後
（蛇口Ｂだけで水を出す時間）で合わせて１５分の時間が短縮されます。

蛇口Ａから水を入れながら蛇口Ｂから水を出すと１分間に水の深さが

１/２－１/３＝１/６

増え、蛇口Ｂだけで水を出すと１分間に水の深さが１/３減りますから、同体積（おもりの体積）分にかかる時間の比は逆比の

１/３：１/６＝２：１

です。

１５分×１/（２＋１）＝５分　…　４４分後から８０分後で短縮された時間

おもりの体積と水そうの容積の比は時間の比の

５分：３６分＝５：３６

と同じですから、おもりの体積が水そうの容積の５/３６にあたるとわかります。

４０㎝×４０㎝×５０㎝＝８００００㎤＝８０Ｌ　…　おもりの体積

８０Ｌ÷５/３６＝５７６Ｌ

答え　５７６Ｌ

本問は、水問題のグラフの使い方が確認できる問題です。

かかる時間の差が見やすくなるように「グラフがないから、とりあえず書いてみようかな」と考えると着目する点が見つけやすくなります。

なお、グラフの代わりに（２）のような図で考えてもＯＫです。

自分にとってわかりやすい方法を選ぶとよいでしょう。

今回は、２０２４年度に共学中の入試で出された「水問題」をご紹介しました。

もし、「水問題」が苦手のようでしたら、１問目や２問目などの基本問題で、図のかき方やグラフの読み取り方、読み取った条件の整理方法をまずはチェックしてみましょう。