「第６８９回　共学中の入試問題　立体図形 ４」

これまで、近年の共学中の入試で出された「立体図形」の問題について考えています。

前回は「立体の切断」の問題を取り扱いました。

今回見ていく問題は「立体の切断」の応用問題と「水の入った容器を傾ける」問題です。

１問目は、「立体の切断」の応用問題です。

【問題】下の図のように１辺の長さが６㎝の立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがあります。辺ＡＢ、ＡＤ、ＡＥ上に ＡＰ：ＰＢ＝ＡＱ：ＱＤ＝ＥＲ：ＲＡ＝１：２ となるように、３点Ｐ、Ｑ、Ｒをそれぞれとります。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）三角形ＰＱＲの面積を求めなさい。

（２）三角形ＰＱＲと対角線ＡＧの交わる点をＸとするとき、ＡＸ：ＸＧを求めなさい。

（３）三角すいＡ－ＰＱＸの体積を求めなさい。

（江戸川学園取手中学校　２０２４年　問題６　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

立方体の辺は３点Ｐ、Ｑ、Ｒによって、１：２＝２㎝：４㎝に分けられます。

そこで、１辺の長さが６㎝の立方体から、４点Ａ、Ｐ、Ｑ、Ｒを含む１辺の長さが４㎝の立方体を取り出すと、次のようになります。

点Ｐ、Ｑはこの取り出した立方体の辺の真ん中の点、Ｒは頂点ですから、３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面でこの立方体を切断してできる三角すいＡ－ＰＱＲの展開図は、１辺の長さが４㎝の正方形に表せます。

よって、三角形ＰＱＲの面積は

４㎝×４㎝－（２㎝×４㎝÷２×２＋２㎝×２㎝÷２）＝６㎠

です。

答え　６㎠

（２）

はじめに、見取り図をかいて様子を確認します。

次に、真上から見た図をかきます。

真上から見た図から、点Ｘは面ＡＥＧＣ上にあることがわかりますので、面ＡＥＧＣに対して垂直な向きから見た図をかきます。

ＳＲを延長して、相似な三角形を作ります。

三角形ＡＲＳと三角形ＥＲＴは相似で、相似比は

ＡＲ：ＥＲ＝２：１＝ＡＳ：ＥＴ

です。

ＥＴ＝１×１/２＝０.５

ＴＧ＝０.５＋１＋２＋３＝６.５

三角形ＡＸＳと三角形ＧＸＴは相似で、相似比は

ＡＳ：ＧＴ＝１：６.５＝２：１３＝ＡＸ：ＸＧ

です。

答え　２：１３

（３）

見取り図をかいて様子を確認します。

図より、三角すいＡ－ＰＱＲの底面を三角形ＰＱＲ、三角すいＡ－ＰＱＸの底面を三角形ＰＱＸとみると、２つの三角すいの高さは同じです。

（２）よりわかる、

ＳＲ：ＲＴ＝２：１

ＳＸ：ＸＴ＝２：１３

を利用します。

よって、

ＳＲ：ＳＸ＝１０：２＝５：１

です。

三角形ＰＱＲと三角形ＰＱＸは底辺ＰＱが共通ですから、面積比と高さの比は同じです。

高さの比　ＳＲ：ＳＸ＝５：１

↓

面積比　三角形ＰＱＲ：三角形ＰＱＸ＝５：１

三角すいＡ－ＰＱＲと三角すいＡ－ＰＱＸは高さが同じですから、体積比と底面積比は同じです。

底面積比　三角形ＰＱＲ：三角形ＰＱＸ＝５：１

↓

体積比　三角すいＡ－ＰＱＲ：三角すいＡ－ＰＱＸ＝５：１

２㎝×２㎝÷２×４㎝÷３＝８/３㎤　…　三角すいＡ－ＰＱＲの体積

８/３㎤×１/５＝８/１５㎤

答え　８/１５㎤

本問は、長さを求めるときの投影図の使い方が確認できる問題です。

正解できなかったときは、長さを求めたい直線に対して垂直となる向きから立体を見るという考え方をチェックしましょう。

２問目は、「水の入った容器を傾ける」問題です。

【問題】図１のように１辺が３０㎝の立方体の容器に深さ１５㎝まで水を入れました。このとき、水面は底面と平行です。以下、水面を網目部分で表します。

（１）ゆっくりと容器を一定の方向に傾けていきます。

① 図２のように傾けたとき、ｘの値を求めなさい。

② 図１の状態から図３になるまでさらに容器を傾けました。水が通過した部分の体積を求めなさい。

（２）立方体の容器に穴のあいたふたをかぶせました。そのあと、ゆっくりと容器を図４のように傾けました。残っている水の体積を求めなさい。ただし、ふたの穴は図５のように面の対角線を４等分する点を結んで得られる正方形とします。

（昭和学院秀英中学校　２０２４年　問題５　問題文一部変更）

【考え方】

（１－①）

図１の水も図２の水も体積が等しく、高さも３０㎝で共通ですから、底面積も等しいです。

１５㎝×３０㎝＝（ｘ㎝＋２㎝）×３０㎝÷２

ｘ㎝＝１５㎝×３０㎝×２÷３０㎝－２㎝＝２８㎝

答え　２８

（１－②）

水の部分の底面の変化を①と同じ向きから見ると、次のようになります。

このとき、容器を傾ける代わりに水面を傾けると、図をかきやすいです。

よって、水が通過する部分は次のような五角柱です。

（３０㎝×３０㎝÷２＋１５㎝×１５㎝÷２）×３０㎝＝１６８７５㎤

答え　１６８７５㎤

（２）

容器の中に残る水は、三角すい台ＡＢＣ－ＤＥＦです。

三角すい台の体積は、大小の相似な三角すいの体積の差として求められます。

三角形ＡＣＧと三角形ＤＦＧは相似で、相似比は

ＡＣ：ＤＦ＝３０㎝：１５㎝＝２：１＝ＣＧ：ＦＧ

です。

よって、

ＣＦ：ＦＧ＝（２－１）：１＝１：１

なので、

ＣＦ＝ＦＧ＝３０㎝

ＣＧ＝３０㎝×２＝６０㎝

です。

３０㎝×３０㎝÷２×６０㎝÷３－１５㎝×１５㎝÷２×３０㎝÷３＝７８７５㎤

答え　７８７５㎤

本問は、容器を傾ける問題の基本が確認できる問題です。

どの問題も図が与えられていましたが、作図が必要なときは水面を切断面と見なし、立体の切断と同じ方法を用いて作図をします。

なお、（１）では正方形の面を底面とみると、「高さの平均」を利用することもできます。

また、（２）は相似比と体積比の関係を使って解くこともできます。

今回は、２０２４年度に共学中の入試で出された「立体の切断」の応用問題と「水の入った容器を傾ける」問題をご紹介しました。

どちらも応用レベルの問題ですので難しく感じたかもしれません。

そのようなときは、解説を参考にして、可能な範囲で理解を深めていきましょう。