「第６８８回　共学中の入試問題　立体図形 ３」

前回は、近年の共学中の入試で出された「立体図形」の中から「回転体」と「積み木」の問題を取り扱いました。

今回は、「立体の切断」がテーマの問題を見ていきます。

１問目は、基本レベルの問題です。

【問題】下図のようなＡＢ＝ＡＤ＝４㎝、ＡＥ＝８㎝の直方体があります。辺ＣＧの真ん中の点をＰとし、辺ＡＥ上にＥＱ＝６㎝となるように点Ｑをとります。この直方体を３点Ｄ、Ｐ、Ｑを通る平面で切ると点Ｈを含む立体の体積は何㎤ですか。

（広尾学園小石川中学校　２０２４年　問題２－（１）　問題文一部変更）

【考え方】

切断の３原則

１ 同じ面上の２点を結ぶ

２ 平行に向かい合う面の切り口は平行

３ 延長

を利用して、作図します。

ＡＱ＝８㎝－６㎝＝２㎝

なので、立体を前から見た図のＰＲの長さも２㎝です。

ＲＦ＝８㎝－（４㎝＋２㎝）＝２㎝

点Ｈを含む立体の体積は、底面を正方形ＥＦＧＨとみると、ＱＥ、ＲＦ、ＰＧ、ＤＨの平均を高さとする直方体の体積と同じです。

（８㎝＋６㎝＋２㎝＋４㎝）÷４＝５㎝　…　平均の高さ

４㎝×４㎝×５㎝＝８０㎤

答え　８０㎤

本問は、切断の基本が確認できる問題です。

なお、底面が正方形なので、高さの平均を向かい合う高さの平均（ 例：（６㎝＋４㎝）÷２＝５㎝ ）で求めることもできます。

２問目は、円柱の切断がテーマの基本問題です。

【問題】下の図は、底面の半径が５㎝の円柱をある平面で切った立体Ａと、底面の半径が１０㎝の円柱を、底面の中心を通り底面に垂直な平面で切った立体Ｂです。立体Ｂの体積は、立体Ａの体積の何倍ですか。ただし、円周率は３.１４とします。

（國學院久我山中学校　２０２４年　問題２－（７）　問題文一部変更）

【考え方】

立体Ａ、Ｂに、それぞれと合同な立体を合わせると、次のような円柱を作ることができます。

ですから、立体Ａの体積は

５㎝×５㎝×３.１４×（４㎝＋８㎝）÷２＝１５０㎤×３.１４

立体Ｂの体積は

１０㎝×１０㎝×３.１４×９㎝÷２＝４５０㎤×３.１４

です。

（４５０㎤×３.１４）÷（１５０㎤×３.１４）＝３倍

答え　３倍

本問は、平面で切断された円柱の体積の求め方を確認できる問題です。

なお、立体Ａの底面が円なので、

向かい合う高さの平均＝（４㎝＋８㎝）÷２＝６㎝

を高さとする円柱として求めることもできます。

３問目は、直方体を組み合わせた立体の切断問題です。

【問題】下の図は、１辺が４㎝の立方体から、底面が１辺２㎝の正方形である直方体を切り取ってできる立体です。４点Ｂ、Ｃ、Ｅ、Ｈを通る平面でこの立体を切ってできる２つの立体のうち、点Ａを含む立体の体積を求めなさい。

（成蹊中学校　２０２４年　問題２－（６）　問題文一部変更）

【考え方】

はじめに、元の立方体を４点Ｂ、Ｃ、Ｅ、Ｈを通る平面で切ってできる立体の作図をします。

次に、同じ平面（赤色部分）で立方体から切り取った直方体を切断します。

２㎝：□㎝＝４㎝：４㎝　→　□＝２×４÷４＝２（㎝）

以上から、次のような図形式をかくことができます。

４㎝×４㎝×１/２×４㎝－２㎝×２㎝×１/２×２㎝＝２８㎤

答え　２８㎤

本問は、一部を切り取られた立体を切断するときの考え方を確認できる問題です。

切り取られた立体をそのまま切断するのが難しいときは、「全体から引く」を利用しましょう。

最後の問題は、切断された立体の表面積に関する問題です。

【問題】下の図のように、１辺の長さが１２㎝の立方体があります。この立方体の頂点Ａから３つの点Ｐ、Ｑ、Ｒが同時に出発し、点Ｐは毎秒１㎝の速さで辺ＡＢ上を、点Ｑは毎秒２㎝の速さで辺ＡＤ上を、点Ｒは毎秒３㎝の速さで辺ＡＥ上を往復します。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）出発してから３秒後に、３つの点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面で立方体を切断します。このとき、頂点Ａをふくむ方の立体の体積は何㎤ですか。

（２）出発してから６秒後に、３つの点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面で立方体を切断します。このとき、頂点Ａをふくむ方の立体の表面積は何㎠ですか。

（専修大学松戸中学校　２０２４年　問題３　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

３秒後の見取り図をかきます。

１㎝/秒×３秒＝３㎝　…　ＡＰ

２㎝/秒×３秒＝６㎝　…　ＡＱ

３㎝/秒×３秒＝９㎝　…　ＡＲ

頂点Ａを含む立体は、三角すいＡ-ＰＱＲです。

３㎝×６㎝×１/２×９㎝×１/３＝２７㎤

答え　２７㎤

（２）

６秒後の見取り図をかきます。

１㎝/秒×６秒＝６㎝　…　ＡＰ

２㎝/秒×６秒＝１２㎝　…　ＡＱ

３㎝/秒×６秒＝１８㎝

１８㎝－１２㎝＝６㎝　…　ＥＲ

１２㎝－６㎝＝６㎝　…　ＡＲ

頂点Ａを含む立体は立方体を４等分した直方体にぴったり入る特別な三角すいで、その展開図は立方体の１つの面と合同な正方形です。

１２㎝×１２㎝＝１４４㎠

答え　１４４㎠

本問は、立方体を４等分した直方体にぴったり入る特別な三角すいの知識が確認できる問題です。

今回は、２０２４年度に共学中の入試で出された「立体の切断」の問題をご紹介しました。

問題の難度に差が少しありますが、いずれも定番の問題です。

習い終えていてできない問題があれば、作図、知識、計算に分けて間違いをチェックし、見つかった課題を補いましょう。