「第６８５回　共学中の入試問題　平面図形 ７」

これまで近年の共学中の入試で出された「平面図形」の問題について考えてきました。

「平面図形」の最終回となる今回も、前回に引き続き「転がり移動」がテーマとなっている、大問形式の問題を見ていきます。

長文問題ですが、定番問題でもありますので、既習範囲であればチャレンジしてみましょう。

【問題】現在使われている１円玉硬貨の直径は２㎝です。この１円玉硬貨を以下のように円盤の周りをすべらせずに回転させながら、移動させることを考えます。ただし、円盤は動きません。次の各問いに答えなさい。ただし、円周率は３.１４とします。

（１）最初に、円盤を別の１円玉硬貨として、図１のように１円玉硬貨を真上の位置から、矢印の方向にすべらせずに回転させながら、移動させます。次の①、②に答えなさい。

① 図２のように、ちょうど真横の位置まで移動させたとき、移動させている１円玉硬貨の表面の文字の向きは、図３のア○～エ○の中のどれになっていますか。記号で答えなさい。

② ちょうど１周して再び図１の位置に戻ってきたとき、１円玉硬貨の表面の文字の向きも図１と同じにありました。移動させている途中で、１円玉硬貨の表面の文字の向きが図３のア○になったのは、何回ありましたか。ただし、最初と最後の位置については、回数に含めません。

（２）次に、図４のように直径が６㎝の円盤の周りを、真上の位置から矢印の方向にすべらせずに１円玉硬貨を回転させながら、移動させます。ちょうど１周して再び図４の位置に戻ってきたとき、１円玉硬貨の表面の文字の向きも図４と同じになりました。移動させている途中で、１円玉硬貨の表面の文字の向きが図３のア○になったのは、何回ありましたか。ただし、最初と最後の位置については、回数に含めません。

（３）次に、図５のように直径が７.２㎝の円盤の周りを、真上の位置から矢印の方向にすべらせずに１円玉硬貨を回転させながら、移動させます。この移動では、１周して再び図５の位置に戻ってきたとき、１円玉硬貨の表面の文字の向きは図５と同じになりませんでした。そこでこの位置にきたときに、１円玉硬貨の表面の文字の向きが図５と同じになるまで円盤の周りを移動させました。次の①、②に答えなさい。

①１円玉硬貨は、円盤の周りを何周しましたか。

②移動させている途中で、１円玉硬貨の表面の文字の向きが図３のア○になったのは、何回ありましたか。ただし、最初と最後の位置については、回数に含めません。

（早稲田実業中等部　２０２４年　問題５　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

①

円盤（影をつけた1円玉硬貨）の弧ＡＢの長さは

２㎝×３.１４×１/４＝１.５７㎝

ですから、それにそって移動する１円玉硬貨の弧ＡＣ＝弧ＢＤの長さも１.５７㎝です。

移動する１円玉硬貨の円周上の点Ａは、１円玉硬貨が円盤の周りを１.５７㎝移動するとＤの位置にきますから、答えは図３のウ○です。

答え　ウ○

②

①と同様に、１円玉硬貨の円周の１/４に着目します。

弧（赤線）の長さはどれも１.５７㎝で同じです。

ですから、円盤と接していた１円玉硬貨の円周上の点（●）の移動に着目すると、１円玉硬貨は次のように移動することがわかります。

最初と最後は回数に含めませんから、ア○のようになるのは１円玉硬貨が円盤のちょうど真下の位置まで移動したときの１回だけです。

答え　１回

（２）

１円玉硬貨が円盤の円周上をＡからＢまで移動すると、初めて１円玉硬貨の表面の文字の向きがア○になるとします。

このとき、ＡＯとＤＰは平行ですから、おうぎ形ＯＡＢとおうぎ形ＰＤＢの中心角の大きさは同じ（○）です。

よって、おうぎ形ＯＡＢとおうぎ形ＰＤＢは相似で、相似比は

（６㎝÷２）：（２㎝÷２）＝３：１

です。

ですから、弧ＢＤの長さを①㎝とすると、弧ＡＢの長さは

①㎝×３＝③㎝

です。

また、３つの赤線の長さはどれも等しいので、１円玉硬貨の円周の長さは

①㎝＋③㎝＝④㎝

です。

ですから、おうぎ形ＰＢＤの中心角（○）の大きさは

３６０度×１/４＝９０度

とわかります。

以上より、はじめて１円玉硬貨の表面の文字の向きがア○になるのは、１円玉硬貨が円盤のちょうど真横の位置まで移動したときです。

この後も、１円玉硬貨が円盤の円周上を③㎝移動すると、１円玉硬貨の表面の文字の向きが○アになります。

よって、１円玉硬貨の表面の文字の向きが○アになるのは、全部で３回あります。

答え　３回

（３）

①

（２）と同じように作図をします。

おうぎ形ＯＡＢとおうぎ形ＰＤＢは相似で、相似比は

（７.２㎝÷２）：（２㎝÷２）＝１８：５

です。

ですから、弧ＢＤの長さを⑤㎝とすると、弧ＡＢの長さは⑱㎝、１円玉硬貨の円周の長さは

⑤㎝＋⑱㎝＝㉓㎝

です。

また、１円玉硬貨と円盤の直径の比が

７.２㎝：２㎝＝１８：５

なので、円盤の円周の長さは

㉓㎝×１８/５＝８２.８○㎝

です。

よって、１円玉硬貨は円盤の円周上を⑱㎝進むごとに表面の文字の向きに図３のア○と同じになり、また、８２.８○㎝進むごとに図５の位置に戻ることがわかります。

１８と８２.８の最小公倍数は４１４なので、１円玉硬貨が円盤の周りを

４１４○㎝÷８２.８○㎝＝５周

すると、表面の文字の向きが図５と同じになります。

答え　５周

②

１円玉硬貨は円盤の円周上を⑱㎝進むごとに表面の文字の向きに図３のア○と同じになります。

４１４○㎝÷⑱㎝＝２３（回）

ただし、最後の位置は回数に含めないと問題文中にありますから、

２３回－１回＝２２回

が答えです。

答え　２２回

本問は、円の周りを円が転がり移動するときの考え方が確認できる問題です。

正解できなかったときは、「同じ向き」の作図が正しいか、図から読み取れる相似が利用できているか、「元の位置に戻る」と最小公倍数の関係が理解できているかなどをチェックしてみましょう。

今回は、２０２４年度に共学中の入試で出された「転がり移動」の問題を、前回に引き続いてご紹介しました。

長文問題でしたので１題だけのご紹介となりましたが、その内容は定番のものですので、一度は解いておきたい問題です。

次回からは「立体図形」について見ていく予定です。