「第６８３回　共学中の入試問題　平面図形 ５」

前回は、近年の共学中の入試で出された「辺の比と面積比」の問題を取り扱いました。

今回は、「点や図形の移動」について見ていきます。

１問目は、定番の基本問題です。

【問題】次の図は、１辺の長さが２ｍの正八角形の建物を上から見たものです。１つのかどには、ロープで犬がつながれています。次の場合、犬が動くことのできる範囲の面積を求めなさい。ただし、円周率は３.１４とします。

（１）ロープの長さが２ｍの場合

（２）ロープの長さが８mの場合

（法政大学中学校　２０２４年　問題４　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

ロープをピンと張ったときの犬の動きを作図します。

３６０度÷８＝４５度　…　正八角形の１つの外角

１８０度－４５度＝１３５度　…　正八角形の１つの内角

３６０度－１３５度＝２２５度　…　おうぎ形の中心角

２ｍ×２ｍ×３.１４×２２５度/３６０度＝７.８５㎡

答え　７.８５㎡

（２）

ロープが正八角形の頂点に接すると、続くおうぎ形の半径が２ｍ短くなることに気をつけながら、作図します。

半径が８ｍのおうぎ形のおうぎ形の中心角は（１）と同じ２２５度、他のおうぎ形の中心角はどれも正八角形の外角と同じ４５度です。

８ｍ×８ｍ×３.１４×２２５度/３６０度＝４０×３.１４㎡

６ｍ×６ｍ×３.１４×４５度/３６０度×２＝９×３.１４㎡

４ｍ×４ｍ×３.１４×４５度/３６０度×２＝４×３.１４㎡

２ｍ×２ｍ×３.１４×４５度/３６０度×２＝１×３.１４㎡

合計すると、

（４０＋９＋４＋１）×３.１４＝１６９.５６㎡

です。

答え　１６９.５６㎡

本問は、点の移動の作図が確認できる問題です。

おうぎ形の半径が変化することに気をつけて、作図をしましょう。

２問目は、図形の平行移動に関する問題です。

【問題】下の図のように直線の上に２つの図形ア、イがあります。図形アは直角二等辺三角形で、図形イは台形です。はじめ、図形ア、イは下の図のような状態にあり、この状態から図形アが毎分１㎝の速さで直線上を矢印の向きに進みます。動き始めてから６分後に図形ア、イの重なっている部分の面積が９㎠となります。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）図形イのＣＤの長さを求めなさい。

（２）動き始めてから１２分後に図形アと図形イの重なっている部分の面積を求めなさい。

（３）図形アと図形イの重なっている部分の面積が９㎠となるときは２回あります。１回目は動き始めてから６分後です。２回目は動き始めてから何分何秒後か求めなさい。

（江戸川学園取手中学校　２０２４年　問題４　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

「４５度」は「直角二等辺三角形を探す・作る」というヒントです。

そこで、ＡからＢＣに垂線をおろし、直角二等辺三角形ＡＢＥを作ります。

ＢＥ＝１０㎝－７㎝＝３㎝＝ＡＥ＝ＣＤ

答え　３㎝

（２）

図形アは１２分で

１㎝/分×１２分＝１２㎝

動きますから、はじめに各頂点を１２㎝動かし、次に動かしたあとの頂点を結んで作図を完成させます。

重なっている部分は、図形アから２つの直角二等辺三角形を取り除いたものです。

□㎝＝１２㎝－１０㎝＝２㎝

図形アは底辺を８㎝とみると、高さは

８㎝÷２＝４㎝

ですから、

☆㎝＝４㎝－３㎝＝１㎝

です。

★㎝＝☆㎝×２＝１㎝×２＝２㎝

８㎝×４㎝÷２＝１６㎠　…　図形アの面積

２㎝×２㎝÷２＝２㎠　…　水色部分の面積

２㎝×１㎝÷２＝１㎠　…　緑色部分の面積

１６㎠－（２㎠＋１㎠）＝１３㎠

答え　１３㎠

（３）

（２）の結果から、重なっている部分の面積が２回目に９㎠になるのは１２分後より後とわかります。

そこで、（２）からさらに図形アが右に動いて図形アの右側の辺が図形イのＤを通るとき（切りのよい位置）について、まず、調べてみます。

（１０㎝＋３㎝）÷１㎝/分＝１３（分後）

１６㎠－（１㎠＋３㎝×３㎝÷２）＝１０.５㎠　…　１３分後に重なっている部分の面積

ですから、重なっている部分の面積が２回目に９㎠になるのは、重なっている部分の面積がさらに

１０.５㎠－９㎠＝１.５㎠＝◎㎠

減ったときです。

影をつけた部分は高さが３㎝の平行四辺形ですから、

■㎝＝１.５㎠÷３㎝＝０.５㎝

です。

（１３㎝＋０.５㎝）÷１㎝/分＝１３.５分後

答え　１３分３０秒後

本問は、図形の平行移動の作図と計算方法が確認できる問題です。

正確な作図、少し動かしてみるという試行が大切なポイントになっています。

３問目は、図形の回転移動に関する問題です。

【問題】図１のような、辺ＡＢの長さが６㎝、辺ＢＣの長さが１２㎝、角Ｂの大きさが３０度の三角形ＡＢＣがあります。この三角形を、頂点Ｂを中心に時計と反対回りに回転させます。図２の三角形ＤＢＥは、三角形ＡＢＣを回転させたものであり、このとき辺ＢＣと直線ＤＡは平行になりました。円周率は３.１４とします。

（１）三角形ＡＢＣの面積を求めなさい。

（２）頂点Ａが動いてできる線の長さを求めなさい。

（３）三角形ＡＢＣが通過した部分の面積を求めなさい。

（三田国際学園中学校　２０２４年　問題３　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

三角形ＡＢＣの中に、正三角形を半分にした、３つの内角の大きさが３０度、６０度、９０度の直角三角形ＡＢＨを作ります。

ＡＨ＝ＡＢ÷２＝６㎝÷２＝３㎝　…　三角形ＡＢＣの高さ

１２㎝×３㎝÷２＝１８㎠

答え　１８㎠

（２）

平行線の錯角は等しいので、角ＡＢＣ＝角ＢＡＤ＝３０度です。

また、三角形ＡＢＣと三角形ＤＢＥは合同ですから、ＡＢ＝ＤＢです。

よって、三角形ＢＡＤは二等辺三角形なので、

角ＤＢＡ＝１８０度－３０度×２＝１２０度

です。

つまり、三角形ＡＢＣの頂点Ａは頂点Ｂを中心として１２０度回転しています。

６㎝×２×３.１４×１２０度/３６０度＝１２.５６㎝

答え　１２.５６㎝

（３）

三角形ＡＢＣの頂点Ａ、Ｃが頂点Ｂを中心として１２０°回転してできる線をかくと、三角形ＡＢＣが通過した部分は、三角形ＤＢＥ（水色部分）とおうぎ形ＢＣＥ（赤色部分）を合わせたものとわかります。

１８㎠＋１２㎝×１２㎝×３.１４×１２０度/３６０度 ＝１６８.７２㎠

答え　１６８.７２㎠

本問は、回転移動の作図をするときは回転する頂点に着目するという基本が確認できる問題です。

移動後の図形が与えられているので、回転移動を既習であればぜひ全問正解させたい問題です。

なお、（１）では、「３０度三角形の面積＝３０度の角をはさむ２辺の積÷４」を利用してもOKです。

今回は、２０２４年度に共学中の入試で出された平行移動や回転移動の問題をご紹介しました。

これらの移動は「転がり移動」の基礎ともなりますので、正解できなかったときは、作図方法、角の大きさや辺の長さの計算方法を復習しましょう。