「第６８２回　共学中の入試問題　平面図形 ４」

これまで、近年の共学中の入試で出された「平面図形」の中から「角の大きさ」、「求積」、「曲線図形」について見てきました。

今回は「辺の比と面積比」がテーマの問題を取り扱います。

１問目は、基本レベルの問題です。

【問題】図のような１辺５㎝の正方形ＡＢＣＤがあります。ＥＦ＝ＥＧである二等辺三角形ＥＦＧを、点Ｅが辺ＡＤのまん中の点となるようにおいたところ、点Ｂが辺ＥＦ上、点Ｃが辺ＥＧ上に重なりました。ＦＧの長さが７㎝のとき、四角形ＢＦＧＣの面積を求めなさい。

（東京農業大学第一高等学校中等部　２０２４年　問題４－（７））

【考え方】

二等辺三角形は、２つの合同な直角三角形に分けることができます。

三角形ＥＢＨと三角形ＥＦＩは相似で、相似比は

ＢＨ：ＦＩ＝５/２：７/２＝５：７＝ＥＨ：ＥＩ

です。

ＡＢ＝ＥＨ＝５㎝ですから、

ＥＩ＝５㎝×７/５＝７㎝

です。

７㎝－５㎝＝２㎝　…　ＨＩ（＝台形ＢＦＧＣの高さ）

（５㎝＋７㎝）×２㎝÷２＝１２㎠

答え　１２㎠

本問は、「ピラミッド型」相似の基本が確認できる問題です。

「二等辺三角形は２つの合同な直角三角形に分ける」という知識も合わせてチェックしておきましょう。

２問目も、基本レベルの問題です。

【問題】図のように、平行四辺形に対角線をひき、さらに底辺を三等分する点のうちの１つと平行四辺形の頂点を結んで、平行四辺形を４つの部分あ○～え○に分けました。い○の部分とう○の部分の面積の和が２６㎠であるとき、この平行四辺形の面積は何㎠ですか。

（慶應義塾中等部　２０２４年　問題２－（２）　問題文一部変更）

【考え方】

問題図のまま相似な三角形に着目してもよいですし、「四角形は三角形に分ける」を利用した解き方もあります。

ここでは、補助線を引いて「四角形を三角形に分ける」ことにします。

台形ＡＥＣＤに着目します。

台形を２本の対角線で４つの部分に分けると、面積比は次のようになります。

この問題ではＡＤ：ＥＣ＝３：１ですから、

面積比　あ○：う○：え○：か○＝（３×３）：（３×１）：（１×１）：（３×１）＝９：３：１：３

です。

ＡＣは平行四辺形ＡＢＣＤの対角線なので、三角形ＡＢＣと三角形ＣＤＡは合同です。

９＋３＝１２　…　三角形ＣＤＡの面積＝三角形ＡＢＣの面積

１２－１＝１１　…　い○の面積

１１＋３＝１４

にあたる面積が２６㎠ですから、

１２×２＝２４

にあたる平行四辺形の面積は

２６㎠×２４/１４＝３１２/７㎠＝４４ ４/７㎠

です。

答え　４４ ４/７㎠

本問は、台形の面積比に関する知識が確認できる問題です。

なお、○あと○えが相似であること、あ○（またはえ○）とう○が高さの等しい三角形であることを使って解いてもＯＫです。

３問目は、定番の応用問題です。

【問題】図のような正方形ＡＢＣＤにおいて、辺ＢＣ上の点をＭとし、辺ＣＤ上の点をＮとすると、ＢＭ：ＭＣ＝１：３、ＣＮ：ＮＤ＝１：３になりました。また、点Ａと点Ｎを結ぶ線と、点Ｄと点Ｍを結ぶ線が交わる点をＰとします。

（１）ＤＰとＰＭの長さの比は何対何ですか。

（２）ＡＰとＰＮの長さの比は何対何ですか。

（３）三角形ＤＰＮの面積が６㎠のとき、ＡＢの長さは何㎝ですか。

（４）四角形ＡＢＭＰの面積が１５４㎠のとき、ＡＢの長さは何㎝ですか。

（開智中学校　２０２４年　問題３）

【考え方】

（１）

ＡＮとＢＣを延長（交点をＱとします）すると、２組の相似な三角形ができます。（「ダブル・チョウチョ相似」の完成）

三角形ＡＮＤと三角形ＱＮＣの相似比は

ＮＤ：ＮＣ＝３：１＝ＡＤ：ＱＣ

なので、

４：□＝３：１　→　□＝４×１÷３＝４/３

です。

ですから、三角形ＡＰＤと三角形ＱＰＭの相似比は

ＡＤ：ＱＭ＝４：（３＋４/３）＝１２：１３＝ＤＰ：ＰＭ

です。

答え　１２：１３

（２）

（１）より、ＡＮ：ＮＱ＝３：１、ＡＰ：ＰＱ＝１２：１３です。

これらのことを連比に整理します。（「ダブル・チョウチョ相似」の利用）

よって、

ＡＰ：ＰＮ＝４８：（１００－４８－２５）＝１６：９

です。

答え　１６：９

（３）

三角形ＤＰＡと三角形ＤＰＮは高さが等しい三角形ですから、面積比は底辺の比と同じです。

底辺の比　ＡＰ：ＰＮ＝１６：９

↓

面積比　△ＤＰＡ：△ＤＰＮ＝１６：９

また、三角形ＡＮＤと正方形ＡＢＣＤは高さが同じですから、面積比＝（上底＋下底）の比です。

（上底＋下底）の比　ＮＤ：（ＡＢ＋ＣＤ）＝３：（４＋４）＝３：８

↓

面積比　△ＡＮＤ：□ＡＢＣＤ＝３：８

三角形ＤＰＮの面積が６㎠ですから、正方形ＡＢＣＤの面積は

６㎠×（１６＋９）/９×８/３＝４００/９㎠

です。

４００/９㎠＝２０/３㎝×２０/３㎝

なので、ＡＢの長さは２０/３㎝＝６ ２/３㎝です。

答え　６ ２/３㎝

（４）

三角形ＡＮＤと三角形ＤＭＣは合同な直角三角形なので、三角形ＤＡＰの面積を１６□とすると、四角形ＭＣＮＰの面積も１６□です。

また、三角形ＡＮＤと正方形ＡＢＣＤの面積比が３：８ですから、正方形ＡＢＣＤの面積は

（１６□＋９□）×８/３＝２００/３□

です。

よって、四角形ＡＢＭＰの面積の１５４㎠が

２００/３□－（１６□＋９□＋１６□）＝７７/３□

にあたります。

１□＝１５４㎠÷７７/３＝６㎠

６㎠×２００/３＝４００㎠　…　正方形ＡＢＣＤの面積

４００㎠＝２０㎝×２０㎝

ですから、ＡＢ＝２０㎝です。

答え　２０㎝

本問は、（１）が相似の完成、（２）が２組の相似な三角形の辺の比（「ダブル・チョウチョ相似」）、（３）と（４）が辺の比と面積比の関係の考え方が確認できる問題です。

いずれも大切な解き方ですから、正解できなかったときはできるだけすぐに復習をしましょう。

今回は、２０２４年度に共学中の入試で出された「辺の比と面積比」から、基本問題を中心にご紹介しました。

次回は応用問題を中心に取り扱う予定ですので、今回の問題で正解できない問題があれば、それまでに基本の知識や解法のどこに課題があるのかを見つけて修正ができるといいですね。