「第６７９回　共学中の入試問題　平面図形 １」

前回まで近年の共学中の入試で出された「速さ」について見てきました。

今回からは「平面図形」の問題を取り扱っていきます。

その１回目のテーマは「角の大きさ」です。

１問目は、基本レベルの問題です。

【問題】下の図のように三角形ＡＢＣの辺ＡＣ上に点Ｄがあり、ＡＢとＡＤの長さは等しく、イの角度はアの角度の２倍で、ウの角度はアの角度の６倍です。このとき、エの角度は何度ですか。

（栄東中学校　２０２４年　問題１－（６）　問題文一部変更）

【考え方】

角アの大きさを①度として、条件を図に書き込みます。

角の問題は、

角の五原則

１．三角形の内角

２．三角形の外角

３．二等辺三角形

４．合同

５．復元

を利用することができます。

上の図では、「三角形の外角のきまり　→　二等辺三角形を利用　→　三角形の内角の和」の順に考えることができます。

⑥－②＝④　…　角ＡＢＤ

②＋④＋④＝１８０度　→　①＝１８度

角エは三角形ＢＣＤの内角なので

１８０度－（１８度＋１８度×６）＝５４度

です。

答え　５４度

本問は、角の５原則の使い方が確認できる問題です。

角の大きさの問題に慣れないうちは「わかるところから順に書き込む」ようにして解き、学習が進んだら「角の５原則の何が使えるか」というように方針を立てて解いてみましょう。

２問目も、基本レベルの問題です。

【問題】下の図のように、正五角形ＡＢＣＤＥの中に正三角形ＦＣＤをつくりました。角xの大きさは何度ですか。

（芝国際中学校　２０２４年　問題２－（８）　問題文一部変更）

【考え方】

角の大きさが与えられていませんので、角の５原則の「３．二等辺三角形」から考えていきます。

条件より、次の図の青色の辺の長さはどれも等しいので、三角形ＣＢＦは二等辺三角形です。

また、正三角形の１つの内角の大きさは６０度（＝★）、正五角形の１つの内角の大きさは１０８度（＝☆）なので、

○＝１０８度－６０度＝４８度

です。

三角形ＣＢＦが二等辺三角形なので、

●＝（１８０度－４８度）÷２＝６６度

です。

x＝１０８度－６６度＝４２度

答え　４２度

本問は、正多角形の内角の大きさと角の５原則の使い方が確認できる問題です。

既習であれば、

正□角形の１つの内角の大きさ＝１８０度×（□－２）÷□

と

正□角形の１つの外角の大きさ＝３６０度÷□

の両方が使えることをチェックしましょう。

３問目は、前問までよりレベルの上がった問題です。

【問題】下の図のあ○の角度を求めなさい。

（早稲田実業中等部　２０２４年　問題１－（３））

【考え方】

角の大きさが与えられていますので、角の５原則の「１．三角形の内角」「２．三角形の外角」が利用できます。

角ＡＢＣ＝１８０度－（４０度＋７０度）＝７０度

角ＡＢＤ＝１８０度－（４０度＋２２度＋５９度）＝５９度

以上より、三角形ＡＢＣと三角形ＡＢＤはどちらも二等辺三角形とわかりますから、

ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ

です。

よって、三角形ＡＣＤもＡＣ＝ＡＤである二等辺三角形です。

角ＡＤＣ＝（１８０度－２２度）÷２＝７９度

あ○＝７９度－５９度＝２０度

答え　２０度

本問は、角の５原則の使いこなしが求められる問題です。

この「内角の大きさを求めると、二等辺三角形が見つかる」という問題は大切ですので、正解できないときは必ずまちがい直しをしましょう。

最後は折り返しと角の問題です。

【問題】下の図１の三角形ＡＢＣを図２のように折りました。次に、図２の三角形ＢＤＣをＢＣで折り返すと図３のようになりました。最後に、図３の三角形ＢＣＤをＢＤで折り返すと図４のようになりました。色のついた部分の角度が８度のときア○の角の大きさは何度ですか。

（青山学院中等部　２０２４年　問題１１　問題文一部変更）

【考え方】

折り返しの問題は、折り返す前の図形も残した図をかくことがポイントです。

ですから、三角形ＡＢＣをＢＤで折り返すときの図は次のようにかきます。

折り返しはＢＤを対称の軸とする線対称移動なので、三角形ＢＤＣと三角形ＢＤＣ’は合同です。

よって、角ＢＣ’Ｄ＝５２度です。

次に、ＢＣ’で折り返します。

さらに、ＢＤ’で折り返します。

図の青線の三角形に着目すると、三角形の外角のきまりより

角Ａ＝５２度－８度＝４４度

とわかります。

さらに、三角形ＡＢＣに着目すると、三角形の内角の和が１８０度であることより

●＝（１８０度－５２度－４４度－８度）÷４＝１９度

もわかります。

最後に赤色に着色された三角形に着目します。

ア○＝１８０度－５２度－１９度＝１０９度

答え　１０９度

本問は、折り返しと角の問題の考え方が確認できる問題です。

折り返す前と折り返した後を１つの図に表し、「折り返す＝線対称＝合同」という知識を用いると、角の大きさを求めることができます。

今回は、２０２４年度に共学中の入試で出された「角の大きさ」がテーマの問題をご紹介しました。

角の５原則と折り返しの作図はどちらも大切な解法ツールなので、もし、正解できない問題があれば、類題などを用いておさらいをしましょう。