「第６７４回　共学中の入試問題　比と割合 ６」

ここまで近年の共学中の入試で出された「比と割合」の問題を見てきました。

最後に「ニュートン算」について考えていきます。

１問目は基本レベルの大問形式の問題です。

【問題】ある工場であめの箱詰め作業をします。作業を始める前に空箱が何箱かあり、１時間ごとに空箱が８０箱運ばれてきます。４人で作業すると２０時間後に空箱はなくなり、６人で作業すると１２時間後に空箱はなくなります。

（１）１時間あたり１人で何箱詰められますか。

（２）作業を始める前に空箱は何箱ありましたか。

（３）何人で作業すると５時間後に空箱はなくなりますか。

（中央大学附属中学校　２０２３年　問題５）

【考え方】

ニュートン算には、単位量に着目する考え方と全体量に着目する考え方があります。

ここでは、単位量に着目してみます。

単位量を利用するときは、次のような「水そう解法」で整理すると考えやすくなります。

作業を始める前にあった空箱の個数を時間（２０時間、１２時間）の最小公倍数の６０□とします。

４人で作業をすると２０時間で空箱がなくなるので、１時間に空箱が

６０□÷２０時間＝３□

ずつ減り、６人で作業をすると１２時間で空箱がなくなるので、１時間に空箱が

６０□÷１２時間＝５□

ずつ減ります。

ですから、

６人－４人＝２人

が１時間にする作業量は

５□－３□＝２□

です。

２□÷２人＝１□　…　１人が１時間にする作業量

４人が作業をすると１時間に

１□×４＝４□

の空箱が減るはずですが、実際に減る空箱は３□です。

その理由は、１時間ごとに８０箱の空箱が運ばれてくるからです。

４□－８０箱＝３□　→　１□＝８０箱

答え　８０箱

（２）

６０□＝８０箱×６０＝４８００箱

答え　４８００箱

（３）

条件を「水そう解法」で整理します。

４８００箱÷５時間＝９６０箱/時　…　１時間に９６０箱減る

９６０箱＋８０箱＝１０４０箱　…　何人かが１時間にする作業量

１０４０箱÷８０箱＝１３人

答え　１３人

本問は、ニュートン算の基本が確認できる問題です。

全体の仕事量がわからない問題を単位量に着目して解くときは、全体の仕事量を時間の最小公倍数または１とおけることをチェックしましょう。

２問目も基本レベルの問題です。

【問題】はじめにある量の水が入っている水そうがあります。この水そうに毎秒６ｍＬずつの水を入れながら、同じポンプを何台か使って排水します。ポンプを３台使用したときは３５秒で水がなくなり、ポンプを５台使用したときは１５秒で水がなくなります。ただし、どのポンプも１秒間で排水する水の量は等しいものとします。

（１）１台のポンプで１秒あたりに排水する水の量は何ｍＬですか。

（２）ポンプを９台使用すると、何秒で水そうの水がなくなりますか。

（成蹊中学校　２０２４年　問題３）

【考え方】

前問では単位量に着目しましたので、今度は全体量に着目する解き方を利用してみます。

このとき、水そうの水がなくなるので、「排水量＝はじめにあった水の量＋注水量」という関係が成り立つことに注意します。

ポンプ１台が１秒間に排水する水の量を１として、条件を線分図で表します。

差に着目します。

（２１０ｍＬ－９０ｍＬ）÷（１０５－７５）＝４ｍＬ　…　１にあたる水の量（＝ポンプ１台が１秒間に排水する水の量）

答え　４ｍＬ

（２）

４ｍＬ×５台×１５秒－９０ｍＬ＝２１０ｍＬ　…　はじめに入っていた水の量

ポンプ９台を使用すると□秒で水がなくなるとします。

３６×□ｍＬ＝２１０ｍＬ＋６×□ｍＬ

□＝２１０ｍＬ÷（３６ｍＬ－６ｍＬ）＝７秒

答え　７秒

本問は、ニュートン算の基本が確認できる問題です。

では、３問目です。

【問題】あるワクチンの接種会場には３分間に１０人の割合で接種希望者が来ます。接種担当の医師はＡ、Ｂ、Ｃの３人で、Ａは２分間に３人の割合で、Ｂは３分間に４人の割合で接種を完了します。ある日の９時に、接種待ちの人がいない状態からＡとＢの２人で同時に接種を開始しました。１０時３０分には接種待ちの列が長くなったため、そこからＣも加わり３人で接種したところ、１１時３０分に接種待ちの列はなくなりました。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）１０時３０分の接種待ちの人は何人でしたか。

（２）Ｃは１人あたり何秒の割合で接種を完了しますか。

（明治大学付属明治中学校　２０２３年　問題４）

【考え方】

（１）

１０時３０分－９時＝１時間３０分＝９０分間

この９０分間の様子を、全体量に着目して整理します。

１０人×９０分/３分＝３００人　…　１０時３０分までに来た接種希望者

３人×９０分/２分＝１３５人　…　１０時３０分までにＡが担当した人数

４人×９０分/３分＝１２０人　…　１０時３０分までにＢが担当した人数

３００人－（１３５人＋１２０人）＝４５人

答え　４５人

（２）

条件を「水そう解法」に整理すると、次のようになります。

１１時３０分－１０時３０分＝１時間＝６０分間

４５人÷６０分間＝０.７５人　…　１分間に減る接種待ちの列

接種待ちの列がなくなっていくので、

ＡとＢとＣが１分間に担当する人数＝１分間に来る接種希望者＋１分間に減る接種待ちの列

という関係が成り立ちます。

１０人÷３分間＋０.７５人＝４９/１２人　…　ＡとＢとＣが１分間に担当する人数

４９/１２人－（３人÷２分間＋４人÷３分間）＝１.２５人　…　Ｃが１分間に担当する人数

Ｃは１.２５人を担当するのに６０秒かかりますから、１人あたり

６０秒÷１.２５人＝４８秒

かかります。

答え　４８秒

本問は、ニュートン算の考え方が確認できる問題です。

なお、解答例の（１）は接種開始から３０分後の接種待ちの列の人数を問われていますので全体量に、（２）は１人あたりの時間を求めますので単位量に着目しましたが、次のように考えてもＯＫです。

今回は、２０２４年度と２０２３年度の共学中の入試で出された「ニュートン算」の問題をご紹介しました。

ニュートン算は、全体量と単位量のどちらに着目するかという方針の決定と、方針にそって条件を見やすく整理することの２点が重要です。

もし、１、２問目のような定番問題が正解できないようでしたら、この２点が実行できているかをまずはチェックしてみましょう。