「第６７３回　共学中の入試問題　比と割合 ５」

２回にわたって近年の共学中の入試問題で出された「食塩水の濃さ」について考えました。

今回は「仕事算」がテーマの問題を取り扱います。

１問目は、基本レベルの問題です。

【問題】７人で働くと１８日かかる仕事を１０日で終わらせようとして、１０人で仕事を始めました。しかし、４日目が終わったところで１０日では終わらないことに気づきました。予定通り１０日で終わらせるには、５日目からは、最低何人増やせばいいですか。ただし、１人が１日にする仕事量は同じであるとします。

（明治大学付属八王子中学校　２０２４年　問題２－（３））

【考え方】

「人名のない」仕事算です。

「１人が１日にする仕事量は同じ」という条件がある基本レベルの「人名のない」仕事算では、１人が１日にする仕事量を１として解いていきます。

１×７人×１８日＝１２６　…　全体の仕事量

１×１０人×４日＝４０　…　４日目までに終えた仕事量

１２６－４０＝８６　…　残りの仕事量

この残りの仕事を

１０日－４日＝６日

で終わらせたいので、１日に働く人数は

８６÷６＝１４.３…人　→　１５人以上必要です。

１５人－１０人＝５人

答え　５人

本問は、「人名のない」仕事算の基本が確認できる問題です。

２問目も、基本レベルの問題です。

【問題】ある仕事をするのに、兄が１人ですると１０日、姉が１人ですると１５日、妹が１人ですると３０日かかります。この仕事を兄、姉、妹の３人で一緒にすると、仕事が終わるまでに何日かかりますか。

（法政大学中学校　２０２３年　問題２－（５）　問題文一部変更）

【考え方】

今度の問題は、「人名のある」仕事算です。

「人名のある」仕事算は、全体の仕事量を日数の最小公倍数または１と仮定して解きます。

ここでは、最小公倍数を利用していきます。

３０÷１０日＝３　…　兄が１日にする仕事量

３０÷１５日＝２　…　姉が１日にする仕事量

３０÷３０日＝１　…　妹が１日にする仕事量

３＋２＋１＝６　…　３人が１日にする仕事量

３０÷６＝５日

答え　５日

本問は、「人名のある」仕事算の基本が確認できる問題です。

ここまでの２問を利用して、人名の有無に応じた解き方が使えることをチェックしましょう。

３問目は、大問形式の問題です。

【問題】ある仕事を仕上げるのに、Ａさん、Ｂさんの２人では２４日，Ａさん１人では４０日、Ｃさん１人では５０日かかります。

（１）この仕事を仕上げるのに、Ｂさん１人では何日かかりますか。

（２）この仕事を始めてから仕上げるまで、Ａさん→Ｂさん→Ｃさん→Ａさん→…の順に５日ずつ交代で作業するとき、全部で何日かかりますか。

（江戸川学園取手中学校　２０２４年　問題２）

【考え方】

（１）

前問と同じように、全体の仕事量を日数（２４日、４０日、５０日）の最小公倍数の６００と仮定します。

６００÷２４日＝２５　…　ＡさんとＢさんが１日にする仕事量

６００÷４０日＝１５　…　Ａさんが１日にする仕事量

２５－１５＝１０　…　Ｂさんが１日にする仕事量

６００÷１０＝６０日

答え　６０日

（２）

「Ａさん５日→Ｂさん５日→Ｃさん５日」を繰り返すので、この１５日を１セットとします。

６００÷５０日＝１２　…　Ｃさんが１日にする仕事量

１５×５日＋１０×５日＋１２×５日＝７５＋５０＋６０＝１８５　…　１セットの仕事量

６００÷１８５＝３セットあまり４５

３セット作業をした後に残る４５の仕事をＡさんがすると、

４５÷１５＝３日

で終わります。

１セットの日数は

５日×３人＝１５日

ですから、全部で

１５日×３セット＋３日＝４８日

かかります。

答え　４８日

本問は、繰り返しのある仕事算の考え方が確認できる問題です。

セットにならない余りの処理に注意しましょう。

４問目も、大問形式の問題です。

【問題】ある仕事をするのに、Ａ君が１人でするとちょうど１２日で終わらせることができます。また、同じ仕事をＢ君が１人ですると、１６日目の途中で終わらせることができます。ただし、Ａ君とＢ君は、毎日それぞれ一定の割合で仕事をするものとします。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）この仕事をＡ君とＢ君がいっしょにすると、何日目に終わらせることができますか。

（２）この仕事を、はじめにＡ君が３日間したあと、残りの仕事をＢ君が１人でしました。仕事が終わるのは、Ｂ君が始めてから何日目ですか。

（専修大学松戸中学校　２０２３年　問題３）

【考え方】

（１）

「１６日目の途中で終わらせる」となっているため、日数の最小公倍数が利用できません。

そこで、本問では全体の仕事量を１と仮定して解いていきます。

１÷１２＝１/１２　…　Ａ君が１日にする仕事量

Ｂ君はこの仕事を終わらせるのに、１５日間では無理ですが、１６日間では時間が余りますから

１÷１５＝１/１５

１÷１６＝１/１６

より、Ｂ君が１日にする仕事量は１/１５より少なく、１/１６より多いとわかります。

Ｂ君の１日の仕事量を１/１５とすると、２人が一緒に仕事をしたときにかかる日数は

１÷（１/１２＋１/１５）＝６ ２/３日

です。

また、Ｂ君の１日の仕事量を１/１６とすると、２人が一緒に仕事をしたときにかかる日数は

１÷（１/１２＋１/１６）＝６ ６/７日

です。

日数が６ ２/３日より多く６ ６/７日より少ないので、仕事が終わるのは７日目です。

答え　７日目

（２）

１－１/１２×３日間＝３/４　…　Ａ君が３日間した後に残る仕事量

この残りの仕事するのに、Ｂ君の１日の仕事量を１/１５とすると、

３/４÷１/１５＝１１ １/４日

かかり、Ｂ君の１日の仕事量を１/１６とすると、

３/４÷１/１６＝１２日

かかります。

かかる日数が１１ １/４日より多く、１２日より少ないので、仕事が終わるのは１２日目です。

答え　１２日目

本問は、１日にする仕事量に範囲があるときの考え方が確認できる問題です。

範囲を「以上」、「以下」、「より多い」、「より少ない（未満）」の中から適したものを選んで考えることがポイントになっています。

今回は、２０２４年度と２０２３年度に共学中の入試で出された「仕事算」の問題をご紹介しました。

１人が１日にする仕事量と全体の仕事量のどちらを先に決めると解きやすいか、問題の条件から考えるようにすると、正解を増やしていけると思います。