「第６６９回　共学中の入試問題　比と割合 １」

前回まで近年の共学中の入試問題で出された「数と計算」の問題について見てきました。

今回からは「比と割合」がテーマの問題を取り扱います。

その１回目は「比と割合」の基本問題です。

では、さっそく問題を見ていきましょう。

【問題】Ａ君は本を読みました。１日目は６４ページ読み、２日目は全体の１/９、３日目は全体の１/６を読んだら、残ったページ数は全体の１/２より４ページ少なくなりました。この本は全部で何ページありますか。

（帝京大学中学校　２０２３年　問題２－（１））

【考え方】

「比と割合」の問題では、何を元にした割合なのかを読み取ることが大切です。

１つ目の割合の「１/９」はその直前にある「本全体」を元にしています。

２つ目の割合の「１/６」も、３つ目の割合の「１/２」もその直前にある「本全体」を元にしていますから、すべての割合で元にする量が共通です。

そこで、元にする量を割合を表す分数の分母の最小公倍数に仮定します。

また、元にする量が１つだけですから、条件を１つの線分図に表すことができます。

ただ、本問は１つの線分図にすると見にくくなるので、２つの線分図に整理します。

なお、本全体＝１　として解いても構いません。

９と６と２の最小公倍数は１８　→　本全体は⑱ページ

⑱×１/９＝②　…　２日目

⑱×１/６＝③　…　３日目

⑱×１/２＝⑨　…　残ったページは（⑨－４）ページ

図より、

６４ページ＋②＋③＋⑨－４ページ＝⑱

①＝（６４ページ－４ページ）÷（１８－２－３－９）＝１５ページ

１５ページ×１８＝２７０ページ

答え　２７０ページ

本問は、元にする量、比べる量、割合の関係が確認できる問題です。

割合の元となる量を正しく読み取って、解きましょう。

では、２問目です。

【問題】ある遊園地の入園料は、大人１５００円、中人１２００円、小人８００円です。ある日の入場者数は、大人と小人の人数比が３：２で、中人は代人より４０人多く、この日の入園料の合計は、１２１２０００円でした。中人の入園者数は何人ですか。

（中央大学附属中学校　２０２３年　問題１－（４））

【考え方】

「３：２」という比に着目すると、入園者数は整数ですから、（大人、小人）＝（３人、２人）、（６人、４人）、（９人、６人）、… の中に答えはあります。

そこで入園料を表に整理します。

中人が３人増えると、入園料は９７００円増えます。

４３人＋３人×｛（１２１２０００円－５７７００円）÷９７００円｝＝４００人

答え　４００人

本問は、最も簡単な整数で表された比の意味が確認できる問題です。

本問は人数の比でしたから、

３：２＝６：４＝９：６＝ …

のように整数倍して考えることができますが、棒の長さや水の重さなどは整数とは限りません。

このようなときは、前問と同様に「①解法」を利用しましょう。

大人の人数を③人とすると、中人の人数は（③＋４０）人、小人の人数は②人です。

１５００円×③＋１２００円×（③＋４０）＋８００円×②＝１２１２０００円

４５００○＋３６００○＋４８０００円＋１６００○＝１２１２０００円

①＝（１２１２０００円－４８０００円）÷（４５００＋３６００＋１６００）＝１２０（人）

１２０人×３＋４０人＝４００人

３問目は大問形式の問題です。

【問題】Ａさん、Ｂさん、Ｃさんの３人がお菓子を買いにお店へ行きました。はじめ、３人の所持金は合わせて３６００円あり、ＡさんはＢさんの１５倍のお金を持っていました。お店ではＡさん、Ｂさん、Ｃさんそれぞれの持っているお金の１/９、１/６、１/８だけ使いました。お店を出て残金を確認すると３人の残金の合計は３１６５円でした。

（１）「ＡさんとＢさんの持っていたお金の合計」と「ＡさんとＢさんが使ったお金の合計」の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

（２）Ｃさんがお店を出たときに持っていたお金はいくらですか。

（芝浦工業大学柏中学校　２０２３年　問題３）

【考え方】

（１）

お金を使う前と後についての問題ですから、お金のお動きを見やすくするため、条件を表に整理します。

このまま進んでもよいですし、計算しやすいように比を整数倍してから解く方法もあります。

ここでは比を６倍してから解くことにします。

１５：１＝９０○：⑥

９０○×１/９＝⑩　…　Ａさんが使ったお金

⑥×１/６＝①　…　Ｂさんが使ったお金

ですから、

（ＡさんとＢさんの持っていたお金の合計）：（ＡさんとＢさんが使ったお金の合計）

＝（９０○＋⑥）：（⑩＋①）

＝９６：１１

です。

答え　９６：１１

（２）

金額は整数ですから、Ｃさんの持っていたお金は８の倍数です。

Ｃさんが持っていたお金を８□とすると、使ったお金は

８□×１/８＝１□

です。

消去算が利用できます。

９６○＋８□＝３６００円　…　（ア）

⑪＋１□＝３６００円－３１６５円＝４３５円　…　（イ）

８８○＋８□＝３４８０円　…　（イ）×８

（ア）と（イ）×８の差に着目します。

①＝（３６００円－３４８０円）÷（９６－８８）＝１５円

１５円×（９６－１１）＝１２７５円　…　ＡさんとＢさんの残金の合計

３１６５円－１２７５円＝１８９０円

答え　１８９０円

本問は、「：」でつながっているＡとＢには同じ印（○）をつけることができ、つながっていないＣには別の印（□）をつけるという比の考え方が確認できる問題です。

今回は、近年の共学中の入試で出された「比と割合」の中から、基本の考え方が確認できる問題をご紹介しました。

線分図や①解法、整数条件の使い方、印のつけ方などいずれも大切な考え方です。

比を習い終えているようでしたらは、このような問題を用いて考え方が定着しているかをチェックしましょう。