「第６６６回　共学中の入試問題　数と計算 ３」

ここまで近年の共学中の入試問題で出された「数と計算」の問題を取り扱っています。

今回は「数列」と「数表」の問題を見ていきます。

１問目は、基本レベルの問題です。

【問題】下のように、あるきまりにしたがって全部で５０個の数字を並べました。

２、０、２、３、２、０、２、３、２、０、…

並べた５０個の数字をすべて加えたときの和を求めなさい。

（専修大学松戸中学校　２０２３年　問題２－（２）　問題文一部変更）

【考え方】

「２、０、２、３」の４個１セットを繰り返しています。

繰り返しの数列は表に整理することができます。

５０個÷４個＝１２セットあまり２個　→　５０個目の数字は１３セット目の２番目です。

ですから、和は

７×１２＋２＝８６

です。

答え　８６

本問は、繰り返す数列（周期タイプ）の基本が確認できる問題です。

余りとその和の処理に注意して解きましょう。

２問目は大問形式の問題です。

【問題】数学者ガウスは幼き日に、１＋２＋３＋……＋９８＋９９＋１００の計算を、「逆の順に並べた式と加えたものを２で割って計算した」と言われています。

よって、１０１×１００÷２＝５０５０

次の問いに答えなさい。

（１）偶数の和２＋４＋６＋……＋９６＋９８＋１００はいくつですか。

（２）３の倍数の和１０２＋１０５＋１０８＋……＋２６１＋２６４＋２６７はいくつですか。考え方も書きなさい。

（法政大学第二中学校　２０２３年　問題４）

【考え方】

（１）

１００は２から数えて １００÷２＝５０番目 の偶数です。

（２＋１００）×５０÷２＝２５５０

答え　２５５０

（２）

１０２は３から数えて １０２÷３＝３４番目

２６７は３から数えて ２６７÷３＝８９番目

の３の倍数です。

１０２から２６７までに３の倍数は

８９番目－３３番目＝５６個

あります。

（１０２＋２６７）×５６÷２＝１０３３２

答え　１０３３２

本問は、等差数列の和の公式の理由が確認できる問題です。

問題の誘導に従ってもよいですし、すぐに等差数列の和の公式を使って解いてもよいでしょう。

３問目も、大問形式の問題です。

【問題】下の図のように、ある規則にしたがって数字が並んでいます。このとき、次の各問いに答えなさい。

（１）［ ア ］段目には［ イ ］個の数が並んでいて、それらの合計は４００です。［ ア ］、［ イ ］に入る数の和を求めなさい。

（２）上の図の数を１段目から順番に下のように一列にならべます。

１、１、２、１、１、２、３、２、１、１、２、３、４、３、２、１、１、…

１０００番目までに出てくる数の中で最も大きい数はいくつですか。

（帝京大学中学校　２０２３年　問題３　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

「和が４００」とわかっていますので、各段の和を調べてみます。

１段目の和　…　１

２段目の和　…　１＋２＋１＝４

３段目の和　…　１＋２＋３＋２＋１＝９

４段目の和　…　１＋２＋３＋４＋３＋２＋１＝１６

調べると□段目の和は □×□（段の数の平方数）となっています。

４００＝２０×２０　→　ア＝２０

次に、「個数」についても調べます。

１段目の個数　…　１個

２段目の個数　…　３個

３段目の個数　…　５個

４段目の個数　…　７個

調べると□段目の個数は □×２－１（１から始まる奇数）となっています。

２０（段）×２－１＝３９（個）　→　イ＝３９

ですから、アとイの和は

２０＋３９＝５９

です。

答え　５９

（２）

各段の真ん中の数がその段で最も大きい数ですから、１０００番目の数が何段目にあるかを調べることにします。

個数の和は１から始まる奇数の和ですから

１から始まる奇数の和＝奇数の個数の平方数

が利用できます。

１０００＝３１×３１＋３９

より、１０００番目の数は３２段目の左から３９番目の数とわかります。

３２段目の真ん中の数は左から３２番目にある３２です。

答え　３２

本問は、個数が１個、３個、５個、…のように規則的に増えていく群数列（本問では「群」が「段」で表現されています）が数表の形で表された問題です。

「和」を問われたら「和の規則性」を、「個数」を問われたら「個数の規則性」を求めるという基本に従って解くことを確認しましょう。

最後も、「数表」の問題です。

【問題】奇数を１つずつ書いたカードを１から順に並べて、下の図のような正方形をつくっていきます。

（１）各辺に１０枚のカードを並べたとき、カードに書かれた最大の数を求めなさい。

（２）各辺に何枚のカードを並べると、左上のカードに書かれた数が５１３になりますか。

（青山学院中等部　２０２３年　問題１０　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

問われている「最大の数」について調べることにします。

カードを各辺の２枚並べたとき（合計４枚）　→　最大の数は７

カードを各辺に４枚並べたとき（合計１６枚）　→　最大の数は３１

カードを各辺に６枚並べたとき（合計３６枚）　→　最大の数は７１

調べると１辺に□枚のカードを並べたときの最大の数は □×□×２－１（合計枚数の２倍より１小さい数）となっています。

１０×１０×２－１＝１９９

答え　１９９

（２）

左上のカードに書かれた数は、１つ前の正方形の最大の数より２大きい数です。

５１３－２＝５１１　…　１つ前の正方形の最大の数

□×□×２－１＝５１１

□×□＝（５１１＋１）÷２＝２５６＝１６×１６

□＝１６

１つ前の正方形の各辺には１６枚のカードが並んでいますから、その次の正方形の各辺には１８枚のカードが並んでいます。

答え　１８枚

本問の（１）も前問と同じように、問われている「最大の数」について規則性を見つけるという基本が確認できる問題です。

また、（２）は（１）を誘導として考える入試問題でよく出される形式の問題です。

（１）がやや易しかったり、作業手順を確認したりするような問題の場合は、「誘導になっているかもしれない」ということを頭の片隅の置いておけるとよいですね。

今回は、近年の共学中の入試で出された「数列」と「数表」の問題をご紹介しました。

これらの問題は模試でも出されますので、正解できない問題があったときは、早急に、どこで間違えたかのチェックと修正をしておきましょう。