「第６６３回　女子中の入試問題　場合の数 ２」

前回から、近年に女子中の入試で出された「場合の数」の問題について見ています。

今回は「数作り」などの問題について考えます。

１問目は「数作り」の基本レベルの問題です。

【問題】０、１、２、３の４個の数字から３個選んで１列に並べて、３けたの偶数を作ります。全部で何個できるか求めなさい。

（晃華学園中学校　２０２３年　問題１－（４））

【考え方】

一の位の数が０または２となること、百の位の数が０にならないことから、「一の位　→　百の位　→　十の位」の順で、樹形図をかきます。

答え　１０個

本問は、「数作り」の基本が確認できる問題です。

のように、小さい順に書き出せるときは、解答例のような樹形図をかく解き方ができるかも確認します。

また、次のように場合分けをして計算が利用できることも確認してみましょう。

□■０のとき

□は０以外の３通り、■は０と□以外の２通り　→　３通り×２通り＝６個

□■２のとき

□は０と２以外の２通り、■は２と□以外の２通り　→　２通り×２通り＝４個

６個＋４個＝１０個

では、２問目です。

【問題】０、１、１、２の４枚のカードをすべて並べてできる４けたの整数は何通りありますか。

（東洋英和女学院中学部　２０２３年　問題２－（６）　問題文一部変更）

【考え方】

１のカードが２枚あることに気をつけて、樹形図をかきます。

答え　９通り

本問も、数作りの基本が確認できる問題です。

なお、次のように計算で求めることもできます。

１□□□のとき

□は０、１、２が入るので ３通り×２通り×１通り＝６通り

２□□□のとき

□は０、１、１が入るので、０の入れ方に着目すると 3Ｃ1＝３通り

残った２つの□には１が自動的に入る（＝１通り）ので

３通り×１通り＝３通り

６通り＋３通り＝９通り

３問目を見ていきましょう。

【問題】１、２、３、４、５、６、７が１つずつ書いてある７枚のカードから４枚を選び、２枚ずつ並べて２桁の奇数を２つ作ります。大きい方の数が小さい方の数の倍数になるとき、考えることができる奇数の組をすべて求めなさい。なお、答えは（１３、２５）のように書きなさい。

（洗足学園中学校　２０２４年　問題２－（２）　問題文一部変更）

【考え方】

カードの中で最も大きい数が７であることに気をつけながら、書き出していきます。

答え　（１３、６５）、（２１、６３）

本問は、漏れや重複がないように順序よく調べる力を確認できる問題です。

問題文中の「すべて求めなさい」や作ることができる最大の奇数の７５が１３×６よりも小さいことなどから、調べる数がそんなに多くないことがわかりますので、丁寧に調べていきましょう。

最後は、大問形式の問題です。

【問題】Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５人全員が、自分以外のだれか１人にメールを送ります。次の問いに答えなさい。

（１）メールを受け取るのが２人であるようなメールの送り方は何通りありますか。

（２）メールを受け取るのが４人であるようなメールの送り方は何通りありますか。

（３）メールを受け取るのが３人であるようなメールの送り方は何通りありますか。

（フェリス女学院中学校　２０２３年　問題４）

【考え方】

（１）

全部で５通あるメールを２人が受け取りますので、受け取るメール数は（１通、４通）、（２通、３通）の２つの場合があります。

具体的に、Ａの受け取り方について調べていきます。

（１通、４通）の場合

・Ａが１通受け取るとき

ＡがＢからのメール受け取る場合、次の図の１通りだけです。

ＡがＣ、Ｄ、Ｅからのメールを受け取る場合も同様に１通りずつありますから、全部で４通りの送り方があります。

（２通、３通）の場合

・Ａが２通受け取るとき

ＢがＡからのメールを受け取る場合、次の図の３通りがあります。

Ｃ、Ｄ、ＥがＡからのメールを受け取る場合も同様に３通りずつありますから、全部で

３通り×４通り＝１２通り

あります。

以上のことはＢ、Ｃ、Ｄ、Ｅについても同様なので、メールの送り方は全部で

（４通り＋１２通り）×５通り＝８０通り

です。

答え　８０通

（２）

メールを受け取れない１人がＡの場合について考えます。

また、メールは全部で５通あり、それをＡ以外の４人で受け取るので、メールを２通受け取る人が１人、１通受け取る人が３人となります。

ＢがＡと他の１人から受け取る場合

・ＢがＡとＣから受け取るのは次の３通りです。

ＢがＡとＤ、ＡとＥから受け取る場合も同様に３通りありますから、全部で

３通り×３通り＝９通り

です。

ＢがＡ以外の２人から受け取る場合

・ＢがＣとＤの２人から受け取る場合は次の４通りです。

ＢがＣとＥ、ＤとＥから受け取る場合も同様に４通りありますから、全部で

４通り×３通り＝１２通り

です。

よって、Ｂが２通受け取る場合は

９通り＋１２通り＝２１通り

あります。

Ｃ、Ｄ、Ｅが２通受け取る場合もそれぞれ２１通りありますから、Ａがメールを受け取らないような送り方は全部で

２１通り×４通り＝８４通り

あります。

Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅがメールを受け取らないときも同じなので、メールの送り方は全部で

８４通り×５通り＝４２０通り

あります。

答え　４２０通り

（３）

メールを受け取る人数は、２人、３人、４人、５人の４つの場合があります。

・受け取る人数が２人のとき

（１）より、８０通りあります。

・受け取る人数が４人のとき

（２）より、４２０通りあります。

・受け取る人数が５人のとき

ＡのメールをＢが受け取る場合

・ＢのメールをＡが受け取る場合

Ｃ、Ｄ、Ｅのメールの受け取り方は、次の２通りがあります。

メールを交換する２人がＡとＣ、ＡとＤ、ＡとＥ、ＢとＣ、ＢとＤ、ＢとＥ、ＣとＤ、ＣとＥ、ＤとＥのときもそれぞれ２通りありますから、全部で

２通り×１０通り＝２０通り

です。

・ＢのメールをＣが受け取る場合は次の２通りがあります。

ＢのメールをＤ、Ｅが受け取るときも同様に２通りずつありますから、全部で

２通り×３通り＝６通り

あります。

ＡのメールをＣ、Ｄ、Ｅが受け取るときも同じなので、全部で

６通り×４通り＝２４通り

です。

ですから、５人全員が受け取るメールの送り方は

２４通り＋２０通り＝４４通り

あります。

また、メールは自分以外のだれか１人に送るので、メールの送り方は全部で

４通り×４通り×４通り×４通り×４通り＝１０２４通り

あります。

１０２４通り－（８０通り＋４２０通り＋４４通り）＝４８０通り

答え　４８０通り

本問は、初見の場合の数に対応する力を確認できる問題です。

困ったときは、解答例のように「具体例を挙げて調べる」という基本の解き方に戻ってみましょう。

今回は、２０２３年度と２０２４年度の女子中の入試で出された「数作り」などの問題をご紹介しました。

３問目までは基本レベルの問題ですので、正解できなかったときは書き出し方や計算方法の修正点をチェックしましょう。

４問目はレベルの高い問題ですから、チャレンジ問題として取り組んでみるとよいと思います。